CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 109
conveniente demostrar primero un lema previo . Dado ɛ > 0 , diremos que f es ɛ-buena en un intervalo J si existe δ > 0 tal que
Entonces se verifica :
x , y ∈ J , | x − y | < δ = ⇒ | f ( x ) − f ( y )| < ɛ .
Lema 5.15 . Si f : R → R es ɛ-buena en [ a , c ] y [ c , b ] y es continua en c , entonces f es ɛ-buena en [ a , b ].
y
En efecto , por hipótesis existen dos números positivos δ 1 y δ 2 tales que x , y ∈ [ a , c ], | x − y | < δ 1 = ⇒ | f ( x ) − f ( y )| < ɛ ( 5.5 )
x , y ∈ [ c , b ], | x − y | < δ 2 = ⇒ | f ( x ) − f ( y )| < ɛ . ( 5.6 ) Además , al ser f continua en c existe δ 3 > 0 tal que
y por tanto x ∈ ( c − δ 3 , c + δ 3 ) = ⇒ | f ( x ) − f ( c )| < ɛ 2 .
x , y ∈ ( c − δ 3 , c + δ 3 ) = ⇒ | f ( x ) − f ( y )| ≤ | f ( x ) − f ( c )| + | f ( y ) − f ( c )| < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ . ( 5 . 7 )
Sea δ = mín ( δ 1 , δ 2 , δ 3 ), y supongamos que x < y son dos puntos de [ a , b ] tales que | x − y | = y −x < δ . Si x , y ∈ [ a , c ] ó x , y ∈ [ c , b ] entonces | f ( x ) − f ( y )| < ɛ por ( 5.5 ) ó ( 5.6 ), respectivamente . Y si x ≤ c ≤ y entonces y − x < δ ≤ δ 3 implica que tanto x como y pertenecen a ( c−δ 3 , c + δ 3 ), 2 y | f ( x ) − f ( y )| < ɛ por ( 5.7 ).
Teorema 5.16 . Si f : R → R es continua en [ a , b ] entonces f es uniformemente continua en [ a , b ].
Demostración . Dado ɛ > 0 , definimos el conjunto A ⊂ [ a , b ] mediante A = { x ∈ [ a , b ] : f es ɛ-buena en [ a , x ]} .
Entonces A es no vacío ( ya que a ∈ A ), y A está acotado superiormente ( por b ), por lo que existirá z = supA . Claramente , z > a , ya que al ser f continua por la derecha en a existe δ > 0 tal que
2 En efecto , s ∈ [ a , a + δ ) = ⇒ | f ( s ) − f ( a )| < ɛ 2 ,
y − x = ( y − c ) + ( c − x ) < δ ≤ δ 3 = ⇒ 0 ≤ y − c < δ 3 , 0 ≤ c − x < δ 3 . | { z } | { z } ≥0 ≥0