CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 109
conveniente demostrar primero un lema previo. Dado ɛ > 0, diremos que f es ɛ-buena en un intervalo J si existe δ > 0 tal que
Entonces se verifica:
x, y ∈ J, | x − y | < δ = ⇒ | f( x) − f( y)| < ɛ.
Lema 5.15. Si f: R → R es ɛ-buena en [ a, c ] y [ c, b ] y es continua en c, entonces f es ɛ-buena en [ a, b ].
y
En efecto, por hipótesis existen dos números positivos δ 1 y δ 2 tales que x, y ∈ [ a, c ], | x − y | < δ 1 = ⇒ | f( x) − f( y)| < ɛ( 5.5)
x, y ∈ [ c, b ], | x − y | < δ 2 = ⇒ | f( x) − f( y)| < ɛ.( 5.6) Además, al ser f continua en c existe δ 3 > 0 tal que
y por tanto x ∈( c − δ 3, c + δ 3) = ⇒ | f( x) − f( c)| < ɛ 2.
x, y ∈( c − δ 3, c + δ 3) = ⇒ | f( x) − f( y)| ≤ | f( x) − f( c)| + | f( y) − f( c)| < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.( 5. 7)
Sea δ = mín( δ 1, δ 2, δ 3), y supongamos que x < y son dos puntos de [ a, b ] tales que | x − y | = y −x < δ. Si x, y ∈ [ a, c ] ó x, y ∈ [ c, b ] entonces | f( x) − f( y)| < ɛ por( 5.5) ó( 5.6), respectivamente. Y si x ≤ c ≤ y entonces y − x < δ ≤ δ 3 implica que tanto x como y pertenecen a( c−δ 3, c + δ 3), 2 y | f( x) − f( y)| < ɛ por( 5.7).
Teorema 5.16. Si f: R → R es continua en [ a, b ] entonces f es uniformemente continua en [ a, b ].
Demostración. Dado ɛ > 0, definimos el conjunto A ⊂ [ a, b ] mediante A = { x ∈ [ a, b ]: f es ɛ-buena en [ a, x ]}.
Entonces A es no vacío( ya que a ∈ A), y A está acotado superiormente( por b), por lo que existirá z = supA. Claramente, z > a, ya que al ser f continua por la derecha en a existe δ > 0 tal que
2 En efecto, s ∈ [ a, a + δ) = ⇒ | f( s) − f( a)| < ɛ 2,
y − x =( y − c) +( c − x) < δ ≤ δ 3 = ⇒ 0 ≤ y − c < δ 3, 0 ≤ c − x < δ 3. | { z } | { z } ≥0 ≥0