CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 108
Por tanto , modificando el valor de una función f : R → R en un número finito de puntos de un intervalo [ a , b ] no se altera ni la integrabilidad de f ni el valor de ∫ b a f . Debido al último resultado del problema anterior podemos generalizar la
definición de función integrable a una función f : R → R acotada en [ a , b ] y definida en [ a , b ] − S , siendo S un subconjunto finito de [ a , b ]. En efecto ,
diremos en este caso que f es integrable en [ a , b ] si una extensión cualquiera ˜f de f a [ a , b ] es integrable en [ a , b ], y definiremos en tal caso ∫ b a f = ∫ b ˜f a
. Por el último apartado del ejercicio anterior , ni la integrabilidad de f ni el valor de ∫ b a f dependen de la extensión ˜f escogida . La generalización de ∫ b a f a funciones no acotadas en [ a , b ] es mucho más delicada , y será abordada
más adelante .
5.3 . Continuidad e integrabilidad
En esta sección demostraremos que si f : R → R es una función continua en [ a , b ] entonces f es integrable en [ a , b ]. Para probar este importante resultado necesitaremos primero introducir el concepto de continuidad uniforme que , aunque en estas notas será abordado casi de pasada tiene un gran interés en sí mismo :
Definición 5.14 . Una función f : R → R es uniformemente continua en un intervalo J ⊂ R si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que
x , y ∈ J , | x − y | < δ = ⇒ | f ( x ) − f ( y )| < ɛ .
Por ejemplo , la función identidad es obviamente uniformemente continua en cualquier intervalo .
Si f es uniformemente continua en un intervalo J claramente f es continua en J , aunque el recíproco no tiene por qué ser cierto . Por ejemplo , si f ( x ) = x 2 y J = [ 0 , ∞ ) entonces f no es uniformemente continua en J . En efecto , cualquiera que sea δ > 0 si 0 < x < y = x + δ 2 se tiene
| f ( x ) − f ( y )| = y 2 − x 2 = ( y + x )( y − x ) = δ ( 2x + δ )
> xδ > 1 2 2 si x > 1 δ
. Otro ejemplo de función continua en un intervalo que no es uniformemente continua en dicho intervalo es la función definida por f ( x ) = 1 / x para x ≠ 0 , en el intervalo ( 0,1 ).
Sin embargo , hay un caso muy importante en que la continuidad en un intervalo implica la continuidad uniforme . Para probar este resultado es