CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 108
Por tanto, modificando el valor de una función f: R → R en un número finito de puntos de un intervalo [ a, b ] no se altera ni la integrabilidad de f ni el valor de ∫ b a f. Debido al último resultado del problema anterior podemos generalizar la
definición de función integrable a una función f: R → R acotada en [ a, b ] y definida en [ a, b ] − S, siendo S un subconjunto finito de [ a, b ]. En efecto,
diremos en este caso que f es integrable en [ a, b ] si una extensión cualquiera ˜f de f a [ a, b ] es integrable en [ a, b ], y definiremos en tal caso ∫ b a f = ∫ b ˜f a
. Por el último apartado del ejercicio anterior, ni la integrabilidad de f ni el valor de ∫ b a f dependen de la extensión ˜f escogida. La generalización de ∫ b a f a funciones no acotadas en [ a, b ] es mucho más delicada, y será abordada
más adelante.
5.3. Continuidad e integrabilidad
En esta sección demostraremos que si f: R → R es una función continua en [ a, b ] entonces f es integrable en [ a, b ]. Para probar este importante resultado necesitaremos primero introducir el concepto de continuidad uniforme que, aunque en estas notas será abordado casi de pasada tiene un gran interés en sí mismo:
Definición 5.14. Una función f: R → R es uniformemente continua en un intervalo J ⊂ R si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que
x, y ∈ J, | x − y | < δ = ⇒ | f( x) − f( y)| < ɛ.
Por ejemplo, la función identidad es obviamente uniformemente continua en cualquier intervalo.
Si f es uniformemente continua en un intervalo J claramente f es continua en J, aunque el recíproco no tiene por qué ser cierto. Por ejemplo, si f( x) = x 2 y J = [ 0, ∞) entonces f no es uniformemente continua en J. En efecto, cualquiera que sea δ > 0 si 0 < x < y = x + δ 2 se tiene
| f( x) − f( y)| = y 2 − x 2 =( y + x)( y − x) = δ( 2x + δ)
> xδ > 1 2 2 si x > 1 δ
. Otro ejemplo de función continua en un intervalo que no es uniformemente continua en dicho intervalo es la función definida por f( x) = 1 / x para x ≠ 0, en el intervalo( 0,1).
Sin embargo, hay un caso muy importante en que la continuidad en un intervalo implica la continuidad uniforme. Para probar este resultado es