CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 107
lo que implica ( al ser g integrable en [ a , b ]) que
L ( f , P ) ≤ L ( g , P ) ≤
∫ b
a g , ∀P ∈ P [ a , b ].
Al ser f integrable en [ a , b ], de esto último se sigue que
∫ b
a f =
∫ b
a f = sup { L ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} ≤
La segunda afirmación es consecuencia de la primera aplicada a f y a las funciones constantes m y M . Q . E . D .
Si a = b , entonces ( 5.3 ) se cumple trivialmente . Si a > b , f es integrable en [ b , a ] y m ≤ f ( x ) ≤ M para todo x ∈ [ b , a ] entonces se cumple
m ( a − b ) ≤
∫ a
b f ≤ M ( a − b ) = ⇒ M ( b − a ) ≤
∫ b
a
∫ b
a g .
f ≤ m ( b − a ).
Sea ahora a < b , f integrable en [ a , b ] y | f ( x )| ≤ M para todo x ∈ [ a , b ]. Entonces −M ≤ f ( x ) ≤ M para todo x ∈ [ a , b ] implica
y por tanto
−M ( b − a ) ≤
∣
∫ b
a
∫ b
a f ≤ M ( b − a ) f ∣ ≤ M | b − a |. ( 5 . 4 )
Si a = b , esta desigualdad se cumple trivialmente . Y si a > b entonces
∫ a
∫ ∣ f ∣ ≤ M | a − b | = ⇒ b
∣ f ∣ ≤ M | b − a |. b
Por tanto ( 5.4 ) se cumple para todo a , b ∈ R .
Ejercicio . Sea a ≤ c ≤ b y sea f : R → R una función integrable en [ a , b ].
i ) Probar que si g : R → R está definida por g ( c ) = 1 y g ( x ) = 0 para todo x ≠ c entonces g es integrable en [ a , b ] y ∫ b a g = 0 . ii ) Demostrar que si h : R → R cumple f = h en [ a , b ] − { c } y definimos h ( c ) de forma arbitraria entonces h es integrable en [ a , b ], siendo ∫ b ∫ a h = b a f . a
iii ) Probar que si F : R → R está definida en [ a , b ] y F = f en [ a , b ] − S , siendo S un subconjunto finito de [ a , b ], entonces F es integrable en [ a , b ] y se verifica ∫ b a F = ∫ b a f .