CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 107
lo que implica( al ser g integrable en [ a, b ]) que
L( f, P) ≤ L( g, P) ≤
∫ b
a g, ∀P ∈ P [ a, b ].
Al ser f integrable en [ a, b ], de esto último se sigue que
∫ b
a f =
∫ b
a f = sup { L( f, P): P ∈ P [ a, b ]} ≤
La segunda afirmación es consecuencia de la primera aplicada a f y a las funciones constantes m y M. Q. E. D.
Si a = b, entonces( 5.3) se cumple trivialmente. Si a > b, f es integrable en [ b, a ] y m ≤ f( x) ≤ M para todo x ∈ [ b, a ] entonces se cumple
m( a − b) ≤
∫ a
b f ≤ M( a − b) = ⇒ M( b − a) ≤
∫ b
a
∫ b
a g.
f ≤ m( b − a).
Sea ahora a < b, f integrable en [ a, b ] y | f( x)| ≤ M para todo x ∈ [ a, b ]. Entonces −M ≤ f( x) ≤ M para todo x ∈ [ a, b ] implica
y por tanto
−M( b − a) ≤
∣
∫ b
a
∫ b
a f ≤ M( b − a) f ∣ ≤ M | b − a |.( 5. 4)
Si a = b, esta desigualdad se cumple trivialmente. Y si a > b entonces
∫ a
∫ ∣ f ∣ ≤ M | a − b | = ⇒ b
∣ f ∣ ≤ M | b − a |. b
Por tanto( 5.4) se cumple para todo a, b ∈ R.
Ejercicio. Sea a ≤ c ≤ b y sea f: R → R una función integrable en [ a, b ].
i) Probar que si g: R → R está definida por g( c) = 1 y g( x) = 0 para todo x ≠ c entonces g es integrable en [ a, b ] y ∫ b a g = 0. ii) Demostrar que si h: R → R cumple f = h en [ a, b ] − { c } y definimos h( c) de forma arbitraria entonces h es integrable en [ a, b ], siendo ∫ b ∫ a h = b a f. a
iii) Probar que si F: R → R está definida en [ a, b ] y F = f en [ a, b ] − S, siendo S un subconjunto finito de [ a, b ], entonces F es integrable en [ a, b ] y se verifica ∫ b a F = ∫ b a f.