CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 106
cualquiera que sea ɛ > 0, lo cual demuestra( 5.2). ⇐ =) Si f está definida y es acotada tanto en [ a, c ] como en [ c, b ] entonces lo mismo se cumple en [ a, b ] = [ a, c ] ∪ [ c, b ]. Si ɛ > 0, existen sendas particiones P 1 y P 2 de [ a, c ] y [ c, b ], respectivamente, tales que
U( f, P 1) − L( f, P 1) < ɛ 2, U( f, P 2) − L( f, P 2) < ɛ 2.
Entonces P = P 1 ∪ P 2 es una partición de [ a, b ], y se tiene U( f, P) −L( f, P) = [ U( f, P 1) −L( f, P 1)]+[ U( f, P 2) −L( f, P 2)] < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.
Por tanto, f es integrable en [ a, b ]. La relación( 5.2) se sigue entonces del apartado anterior. Q. E. D.
y
Hemos probado la propiedad de subdivisión para a < c < b. Si definimos
∫ b
a f = −
∫ a
a
∫ a
b f = 0
f si a > b,
entonces no es difícil comprobar que la propiedad de subdivisión es cierta para tres números arbitrarios a, b, c ∈ R. Por ejemplo, si a < b < c entonces
∫ c
a f =
∫ b
a f +
∫ c
b f = ⇒
∫ b
a f = como antes. Otra propiedad importante de la integral es la siguiente propiedad de mayoración:
∫ c
a f −
∫ c
b f =
Proposición 5.13. Si f, g: R → R son integrables en [ a, b ] y f( x) ≤ g( x) para todo x ∈ [ a, b ] entonces se verifica
∫ b
a f ≤
∫ c
a f +
En particular, si m ≤ f( x) ≤ M para todo x ∈ [ a, b ] entonces se cumple
m( b − a) ≤
∫ b
a
∫ b
a g.
∫ b
c f,
f ≤ M( b − a).( 5.3)
Demostración. Si f( x) ≤ g( x) para todo x ∈ [ a, b ] y P = { x 0,..., x n } ∈ P [ a, b ] entonces
inf { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]} ≤ inf { g( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, ∀i = 1,..., n