CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 106
cualquiera que sea ɛ > 0 , lo cual demuestra ( 5.2 ). ⇐ =) Si f está definida y es acotada tanto en [ a , c ] como en [ c , b ] entonces lo mismo se cumple en [ a , b ] = [ a , c ] ∪ [ c , b ]. Si ɛ > 0 , existen sendas particiones P 1 y P 2 de [ a , c ] y [ c , b ], respectivamente , tales que
U ( f , P 1 ) − L ( f , P 1 ) < ɛ 2 , U ( f , P 2 ) − L ( f , P 2 ) < ɛ 2 .
Entonces P = P 1 ∪ P 2 es una partición de [ a , b ], y se tiene U ( f , P ) −L ( f , P ) = [ U ( f , P 1 ) −L ( f , P 1 )]+[ U ( f , P 2 ) −L ( f , P 2 )] < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ .
Por tanto , f es integrable en [ a , b ]. La relación ( 5.2 ) se sigue entonces del apartado anterior . Q . E . D .
y
Hemos probado la propiedad de subdivisión para a < c < b . Si definimos
∫ b
a f = −
∫ a
a
∫ a
b f = 0
f si a > b ,
entonces no es difícil comprobar que la propiedad de subdivisión es cierta para tres números arbitrarios a , b , c ∈ R . Por ejemplo , si a < b < c entonces
∫ c
a f =
∫ b
a f +
∫ c
b f = ⇒
∫ b
a f = como antes . Otra propiedad importante de la integral es la siguiente propiedad de mayoración :
∫ c
a f −
∫ c
b f =
Proposición 5.13 . Si f , g : R → R son integrables en [ a , b ] y f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x ∈ [ a , b ] entonces se verifica
∫ b
a f ≤
∫ c
a f +
En particular , si m ≤ f ( x ) ≤ M para todo x ∈ [ a , b ] entonces se cumple
m ( b − a ) ≤
∫ b
a
∫ b
a g .
∫ b
c f ,
f ≤ M ( b − a ). ( 5.3 )
Demostración . Si f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x ∈ [ a , b ] y P = { x 0 ,... , x n } ∈ P [ a , b ] entonces
inf { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} ≤ inf { g ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} , ∀i = 1 ,... , n