CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 105
Por tanto,
∫ b
∣( f + g) − a
∫ b
Esto demuestra que
a f −
∫ b
a g ∣
≤ U( f, P) + U( g, P) − L( f, P) − L( g, P) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.
∫ b
a
( f + g) =
La demostración de la segunda afirmación es análoga y se deja como ejercicio para el lector. Q. E. D.
∫ b
a f +
Veamos a continuación la propiedad de subdivisión de la integral:
Proposición 5.12. Sea f: R → R una función, y sea a < c < b. Entonces f es integrable en [ a, b ] si y sólo si f es integrable en [ a, c ] y en [ c, b ], y en tal caso se cumple
∫ b
a f =
∫ c
a f +
∫ b
c
∫ b
a g.
f.( 5.2)
Demostración. = ⇒) Si f integrable en [ a, b ], entonces f está definida y acotada en [ a, b ], lo cual implica que otro tanto ocurre en [ a, c ] y [ c, b ]. Dado ɛ > 0, es posible encontrar una partición Q de [ a, b ] tal que U( f, Q) −L( f, Q) < ɛ. Si llamamos P = Q ∪ { c } esto implica que
U( f, P) − L( f, P) < ɛ.
Los conjuntos P 1 = P ∩ [ a, c ] y P 2 = P ∩ [ c, b ] son claramente particiones de [ a, c ] y [ c, b ], respectivamente. Además se verifica
U( f, P) − L( f, P) = [ U( f, P 1) − L( f, P 1)] + [ U( f, P 2) − L( f, P 2)] < ɛ = ⇒ U( f, P i) − L( f, P i) < ɛ, i = 1,2,
ya que ambos sumandos entre corchetes son no negativos. Esto prueba que f es integrable en [ a, c ] y en [ c, b ]. Además, como
L( f, P 1) ≤
∫ c
y L( f, P) ≤ ∫ b a a f ≤ U( f, P 1), L( f, P 2) ≤
∫ b
= ⇒ L( f, P) = L( f, P 1) + L( f, P 2) ≤
f ≤ U( f, P) entonces se tiene ∫ c ∫ b ∫ b ∣ f + f − f
∣ < ɛ, a c c f ≤ U( f, P 2)
∫ c
a f +
∫ b
≤ U( f, P 1) + U( f, P 2) = U( f, P)
a c f