CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 105
Por tanto ,
∫ b
∣ ( f + g ) − a
∫ b
Esto demuestra que
a f −
∫ b
a g ∣
≤ U ( f , P ) + U ( g , P ) − L ( f , P ) − L ( g , P ) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ .
∫ b
a
( f + g ) =
La demostración de la segunda afirmación es análoga y se deja como ejercicio para el lector . Q . E . D .
∫ b
a f +
Veamos a continuación la propiedad de subdivisión de la integral :
Proposición 5.12 . Sea f : R → R una función , y sea a < c < b . Entonces f es integrable en [ a , b ] si y sólo si f es integrable en [ a , c ] y en [ c , b ], y en tal caso se cumple
∫ b
a f =
∫ c
a f +
∫ b
c
∫ b
a g .
f . ( 5.2 )
Demostración . = ⇒ ) Si f integrable en [ a , b ], entonces f está definida y acotada en [ a , b ], lo cual implica que otro tanto ocurre en [ a , c ] y [ c , b ]. Dado ɛ > 0 , es posible encontrar una partición Q de [ a , b ] tal que U ( f , Q ) −L ( f , Q ) < ɛ . Si llamamos P = Q ∪ { c } esto implica que
U ( f , P ) − L ( f , P ) < ɛ .
Los conjuntos P 1 = P ∩ [ a , c ] y P 2 = P ∩ [ c , b ] son claramente particiones de [ a , c ] y [ c , b ], respectivamente . Además se verifica
U ( f , P ) − L ( f , P ) = [ U ( f , P 1 ) − L ( f , P 1 )] + [ U ( f , P 2 ) − L ( f , P 2 )] < ɛ = ⇒ U ( f , P i ) − L ( f , P i ) < ɛ , i = 1,2 ,
ya que ambos sumandos entre corchetes son no negativos . Esto prueba que f es integrable en [ a , c ] y en [ c , b ]. Además , como
L ( f , P 1 ) ≤
∫ c
y L ( f , P ) ≤ ∫ b a a f ≤ U ( f , P 1 ), L ( f , P 2 ) ≤
∫ b
= ⇒ L ( f , P ) = L ( f , P 1 ) + L ( f , P 2 ) ≤
f ≤ U ( f , P ) entonces se tiene ∫ c ∫ b ∫ b ∣ f + f − f
∣ < ɛ , a c c f ≤ U ( f , P 2 )
∫ c
a f +
∫ b
≤ U ( f , P 1 ) + U ( f , P 2 ) = U ( f , P )
a c f