CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 104
ii ) ∫ b a ( cf ) = c∫ b a f .
Demostración . En primer lugar , f + g y cf están definidas y son acotadas en [ a , b ] si f y g lo son . Si Q = { x 0 ,..., x n } es una partición de [ a , b ] e i = 1,2 ,... , n , llamemos
y
Se tiene entonces
y por tanto m i = inf { f ( x ) + g ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]}, m i ′ = inf { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} , m ′′ i = inf { g ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]}
M i = sup { f ( x ) + g ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} , M i ′ = sup { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]},
M ′′ i = sup { g ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} .
m ′ i + m ′′ i ≤ m i ≤ M i ≤ M ′ i + M ′′ i , ∀i = 1 ,... , n ,
L ( f , Q ) + L ( g , Q ) ≤ L ( f + g , Q ) ≤ U ( f + g , Q ) ≤ U ( f , Q ) + U ( g , Q ),
para toda partición Q de [ a , b ]. Dado ɛ > 0 , existen dos particiones P 1 y P 2 de [ a , b ] tales que
U ( f , P 1 ) − L ( f , P 1 ) < ɛ 2 , U ( g , P 2 ) − L ( g , P 2 ) < ɛ 2 . Si P = P 1 ∪ P 2 se cumple entonces
U ( f + g , P ) − L ( f + g , P ) ≤ U ( f , P ) + U ( g , P ) − L ( f , P ) − L ( g , P ) ≤ U ( f , P 1 ) + U ( g , P 2 ) − L ( f , P 1 ) − L ( g , P 2 ) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ .
Por la Proposición 5.9 , f + g es integrable en [ a , b ]. Además , si ɛ > 0 y P es como antes , entonces
L ( f , P ) + L ( g , P ) ≤ L ( f + g , P ) ≤
∫ b
a
( f + g ) ≤ U ( f + g , P ) ≤ U ( f , P ) + U ( g , P ) y L ( f , P ) + L ( g , P ) ≤
∫ b
a f +
∫ b
a g ≤ U ( f , P ) + U ( g , P ).