CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 104
ii) ∫ b a( cf) = c∫ b a f.
Demostración. En primer lugar, f + g y cf están definidas y son acotadas en [ a, b ] si f y g lo son. Si Q = { x 0,..., x n } es una partición de [ a, b ] e i = 1,2,..., n, llamemos
y
Se tiene entonces
y por tanto m i = inf { f( x) + g( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, m i ′ = inf { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, m ′′ i = inf { g( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}
M i = sup { f( x) + g( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, M i ′ = sup { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]},
M ′′ i = sup { g( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}.
m ′ i + m ′′ i ≤ m i ≤ M i ≤ M ′ i + M ′′ i, ∀i = 1,..., n,
L( f, Q) + L( g, Q) ≤ L( f + g, Q) ≤ U( f + g, Q) ≤ U( f, Q) + U( g, Q),
para toda partición Q de [ a, b ]. Dado ɛ > 0, existen dos particiones P 1 y P 2 de [ a, b ] tales que
U( f, P 1) − L( f, P 1) < ɛ 2, U( g, P 2) − L( g, P 2) < ɛ 2. Si P = P 1 ∪ P 2 se cumple entonces
U( f + g, P) − L( f + g, P) ≤ U( f, P) + U( g, P) − L( f, P) − L( g, P) ≤ U( f, P 1) + U( g, P 2) − L( f, P 1) − L( g, P 2) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.
Por la Proposición 5.9, f + g es integrable en [ a, b ]. Además, si ɛ > 0 y P es como antes, entonces
L( f, P) + L( g, P) ≤ L( f + g, P) ≤
∫ b
a
( f + g) ≤ U( f + g, P) ≤ U( f, P) + U( g, P) y L( f, P) + L( g, P) ≤
∫ b
a f +
∫ b
a g ≤ U( f, P) + U( g, P).