CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 103
⇐ =) Supongamos ahora que
ɛ =
∫ b
a f −
∫ b
a f > 0 .
Entonces cualquiera que sea la partición P de [ a , b ] que escojamos se cumplirá
L ( f , P ) ≤
∫ b
a f =
∫ b
a f − ɛ ≤ U ( f , P ) − ɛ . Q . E . D .
Ejemplo 5.10 . La función identidad es integrable en cualquier intervalo [ a , b ], y se cumple
∫ b xdx = 1 2 ( b2 − a 2 ). a
En efecto ( véase el Ejemplo 5.8 ) si P n es una partición de [ a , b ] en n subintervalos iguales entonces
U ( f , P n ) − L ( f , P n ) = 1 n ( b − a ) 2 ,
que es menor que cualquier ɛ > 0 para n suficientemente grande . Esto demuestra que I es integrable en [ a , b ]. De
L ( f , P n ) < 1 2 ( b2 − a 2 ) < U ( f , P n ),
se sigue que
1 ∣2 ( b2 − a 2 ) −
∫ b
lo cual prueba nuestra afirmación .
a
L ( f , P n ) ≤
∫ b
a f ≤ U ( f , P n ) f ∣ ≤ U ( f , P n ) − L ( f , P n ) = 1 n ( b − a ) 2 , ∀n ∈ N ,
Ejercicio . Probar , de la misma forma , que ∫ b 0 x2 dx = b 3 / 3 .
5.2 . Propiedades de la integral
Veremos en esta sección las propiedades elementales del concepto de integral . Comenzaremos estableciendo las propiedades de linealidad de la integral :
Teorema 5.11 . Si f y g son integrables en [ a , b ] y c ∈ R , entonces las funciones f + g y cf son integrables en [ a , b ], y además se cumple :
i ) ∫ b a ( f + g ) = ∫ b a f + ∫ b a g