CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 103
⇐ =) Supongamos ahora que
ɛ =
∫ b
a f −
∫ b
a f > 0.
Entonces cualquiera que sea la partición P de [ a, b ] que escojamos se cumplirá
L( f, P) ≤
∫ b
a f =
∫ b
a f − ɛ ≤ U( f, P) − ɛ. Q. E. D.
Ejemplo 5.10. La función identidad es integrable en cualquier intervalo [ a, b ], y se cumple
∫ b xdx = 1 2( b2 − a 2). a
En efecto( véase el Ejemplo 5.8) si P n es una partición de [ a, b ] en n subintervalos iguales entonces
U( f, P n) − L( f, P n) = 1 n( b − a) 2,
que es menor que cualquier ɛ > 0 para n suficientemente grande. Esto demuestra que I es integrable en [ a, b ]. De
L( f, P n) < 1 2( b2 − a 2) < U( f, P n),
se sigue que
1 ∣2( b2 − a 2) −
∫ b
lo cual prueba nuestra afirmación.
a
L( f, P n) ≤
∫ b
a f ≤ U( f, P n) f ∣ ≤ U( f, P n) − L( f, P n) = 1 n( b − a) 2, ∀n ∈ N,
Ejercicio. Probar, de la misma forma, que ∫ b 0 x2 dx = b 3 / 3.
5.2. Propiedades de la integral
Veremos en esta sección las propiedades elementales del concepto de integral. Comenzaremos estableciendo las propiedades de linealidad de la integral:
Teorema 5.11. Si f y g son integrables en [ a, b ] y c ∈ R, entonces las funciones f + g y cf son integrables en [ a, b ], y además se cumple:
i) ∫ b a( f + g) = ∫ b a f + ∫ b a g