CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 102
Sin embargo , este cálculo no demuestra por sí sólo que
∫ b
a f = 1 2 ( b2 − a 2 ) =
ya que no hemos calculado L ( f , P ) y U ( f , P ) más que para un cierto tipo de particiones P de [ a , b ] 1 .
Veamos a continuación un criterio que simplifica notablemente el comprobar si una función es integrable sobre un intervalo :
Proposición 5.9 . Sea f : R → R una función definida y acotada en un intervalo [ a , b ]. Entonces f es integrable en [ a , b ] si y sólo si para todo ɛ > 0 existe una partición P de [ a , b ] tal que
∫ b
U ( f , P ) − L ( f , P ) < ɛ .
Demostración . = ⇒ ) Supongamos que f es integrable en [ a , b ], y sea ɛ > 0 dado . Por definición de supremo , existe una partición P 1 de [ a , b ] tal que
∫ b
a f − ɛ 2 < L ( f , P 1 ) ≤
Análogamente , por definición de ínfimo existe una partición P 2 de [ a , b ] tal que
Por ser f integrable ,
∫ b
a f ≤ U ( f , P 2 ) <
∫ b
a f =
∫ b
a f =
∫ b
a
∫ b
a a f ,
∫ b
a f .
f + ɛ 2 .
Por tanto , si P = P 1 ∪ P 2 entonces se tiene ( por la Proposición 5.3 ) U ( f , P ) − L ( f , P ) ≤ U ( f , P 2 ) − L ( f , P 1 )
[ ∫ b
] [
= U ( f , P 2 ) − f − L ( f , P 1 ) − a f .
∫ b
a
] f < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ .
1 Esto se podría probar de la siguiente forma : si llamamos P n a la partición del intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales , entonces
1 2 ( b2 − a 2 ) = sup { L ( f , P n ) : n ∈ N } ≤
≤
Z b
a
Z b
a x dx
x dx ≤ inf { U ( f , P n ) : n ∈ N } = 1 2 ( b2 − a 2 ).