CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 102
Sin embargo, este cálculo no demuestra por sí sólo que
∫ b
a f = 1 2( b2 − a 2) =
ya que no hemos calculado L( f, P) y U( f, P) más que para un cierto tipo de particiones P de [ a, b ] 1.
Veamos a continuación un criterio que simplifica notablemente el comprobar si una función es integrable sobre un intervalo:
Proposición 5.9. Sea f: R → R una función definida y acotada en un intervalo [ a, b ]. Entonces f es integrable en [ a, b ] si y sólo si para todo ɛ > 0 existe una partición P de [ a, b ] tal que
∫ b
U( f, P) − L( f, P) < ɛ.
Demostración. = ⇒) Supongamos que f es integrable en [ a, b ], y sea ɛ > 0 dado. Por definición de supremo, existe una partición P 1 de [ a, b ] tal que
∫ b
a f − ɛ 2 < L( f, P 1) ≤
Análogamente, por definición de ínfimo existe una partición P 2 de [ a, b ] tal que
Por ser f integrable,
∫ b
a f ≤ U( f, P 2) <
∫ b
a f =
∫ b
a f =
∫ b
a
∫ b
a a f,
∫ b
a f.
f + ɛ 2.
Por tanto, si P = P 1 ∪ P 2 entonces se tiene( por la Proposición 5.3) U( f, P) − L( f, P) ≤ U( f, P 2) − L( f, P 1)
[ ∫ b
] [
= U( f, P 2) − f − L( f, P 1) − a f.
∫ b
a
] f < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.
1 Esto se podría probar de la siguiente forma: si llamamos P n a la partición del intervalo [ a, b ] en n subintervalos iguales, entonces
1 2( b2 − a 2) = sup { L( f, P n): n ∈ N } ≤
≤
Z b
a
Z b
a x dx
x dx ≤ inf { U( f, P n): n ∈ N } = 1 2( b2 − a 2).