CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 101
Ejemplo 5.8 . Comprobar que una función es integrable a partir de la definición puede ser muy complicado , incluso para funciones muy simples . En efecto , el cálculo de la integral inferior ó superior requiere en principio conocer el valor de L ( f , P ) ó U ( f , P ) para cualquier partición P del intervalo [ a , b ], lo cuál sólo es posible para funciones muy sencillas .
Por ejemplo , si f = c es constante y P = { x 0 ,... , x n } entonces m i = M i = c , por lo que
L ( f , P ) = U ( f , P ) = n∑ c ( x i − x i−1 ) = c i = 1
Luego en este caso f es integrable , y se cumple
∫ b
a n∑ ( x i − x i−1 ) = c ( b − a ). i = 1
cdx = c ( b − a ).
( Geométricamente ( si c > 0 ), esta es la fórmula para el área de un rectángulo de base b − a y altura c .)
Sin embargo , si f = I entonces m i = x i−1 , M i = x i y por tanto
L ( f , P ) = n∑ x i−1 ( x i − x i−1 ), U ( f , P ) = i = 1 n∑ x i ( x i − x i−1 ),
que sólo es fácil calcular exactamente para ciertos tipos de particiones de [ a , b ]. Por ejemplo , si todos los subintervalos de la partición tienen la misma longitud ( b − a )/ n entonces
Por tanto en este caso
L ( f , P ) = b − a n mientras que
= b − a n
= b − a n
U ( f , P ) = b − a n i = 1
x i = a + i ( b − a ), i = 0 , 1 ,... , n . n n∑ x i−1 = b − a n−1
∑ x i n i = 1 i = 0 n−1
∑ [ a + in ] [
] ( b − a ) = b − a na + b − a n−1 ∑ i n n i = 0 i = 1
[ na + b − a n · 1 ] 2 n ( n − 1 ) = 1
2 ( b2 − a 2 ) − ( b − a ) 2
, 2n n∑
i = 1 = L ( f , P ) + ( b − a ) 2
x i = L ( f , P ) + b − a n ( x n − x 0 ) n
= 1 2 ( b2 − a 2 ) + ( b − a ) 2
. 2n