CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 101
Ejemplo 5.8. Comprobar que una función es integrable a partir de la definición puede ser muy complicado, incluso para funciones muy simples. En efecto, el cálculo de la integral inferior ó superior requiere en principio conocer el valor de L( f, P) ó U( f, P) para cualquier partición P del intervalo [ a, b ], lo cuál sólo es posible para funciones muy sencillas.
Por ejemplo, si f = c es constante y P = { x 0,..., x n } entonces m i = M i = c, por lo que
L( f, P) = U( f, P) = n∑ c( x i − x i−1) = c i = 1
Luego en este caso f es integrable, y se cumple
∫ b
a n∑( x i − x i−1) = c( b − a). i = 1
cdx = c( b − a).
( Geométricamente( si c > 0), esta es la fórmula para el área de un rectángulo de base b − a y altura c.)
Sin embargo, si f = I entonces m i = x i−1, M i = x i y por tanto
L( f, P) = n∑ x i−1( x i − x i−1), U( f, P) = i = 1 n∑ x i( x i − x i−1),
que sólo es fácil calcular exactamente para ciertos tipos de particiones de [ a, b ]. Por ejemplo, si todos los subintervalos de la partición tienen la misma longitud( b − a)/ n entonces
Por tanto en este caso
L( f, P) = b − a n mientras que
= b − a n
= b − a n
U( f, P) = b − a n i = 1
x i = a + i( b − a), i = 0, 1,..., n. n n∑ x i−1 = b − a n−1
∑ x i n i = 1 i = 0 n−1
∑ [ a + in ] [
]( b − a) = b − a na + b − a n−1 ∑ i n n i = 0 i = 1
[ na + b − a n · 1 ] 2 n( n − 1) = 1
2( b2 − a 2) −( b − a) 2
, 2n n∑
i = 1 = L( f, P) +( b − a) 2
x i = L( f, P) + b − a n( x n − x 0) n
= 1 2( b2 − a 2) +( b − a) 2
. 2n