CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 100
En el ejemplo anterior, no está claro cuál es el valor del área bajo la gráfica de f en [ a, b ]( y por tanto el de la integral de f en [ a, b ]), ya que las aproximaciones por defecto a dicha área tienden a un límite distinto que las aproximaciones por exceso. En situaciones como esta, renunciaremos a definir el valor de la integral de f en [ a, b ]. Las consideraciones anteriores motivan la siguiente definición:
Definición 5.6. Una función f: R → R definida y acotada en un intervalo [ a, b ] es integrable en [ a, b ] si
∫ b
a f =
∫ b
Al valor común de ambas integrales lo denotaremos por f, y lo denominaremos integral de f en [ a, b ]. a f.
∫ b
a
Otra notación equivalente para ∫ b f que es muy útil en la práctica es
∫ b a a f( x) dx. Obsérvese que en esta notación x es una variable muda, es
decir
∫ b
a f( x) dx =
∫ b
a f( t) dt =
∫ b
a f( s) ds = · · · ≡
Los prerequisitos para que f sea integrable en [ a, b ] son que dom f ⊃ [ a, b ], y que f esté acotada en dicho intervalo.
Nótese que de momento no está definido el símbolo ∫ b a f si a ≥ b; veremos más adelante cómo generalizar la definición de integral en
este caso.
Una consecuencia inmediata de( 5.1) y de la definición de función integrable es la siguiente
Proposición 5.7. Si f es integrable en [ a, b ] y s ∈ R satisface
entonces ∫ b a f = s.
L( f, P) ≤ s ≤ U( f, P), ∀P ∈ P [ a, b ],
Demostración. En efecto( véase la ec.( 5.1))
∫ b
a f =
∫ b
a f ≤ s ≤
∫ b
a f =
∫ b
a f.
∫ b
a f.
Q. E. D.