CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 100
En el ejemplo anterior , no está claro cuál es el valor del área bajo la gráfica de f en [ a , b ] ( y por tanto el de la integral de f en [ a , b ]), ya que las aproximaciones por defecto a dicha área tienden a un límite distinto que las aproximaciones por exceso . En situaciones como esta , renunciaremos a definir el valor de la integral de f en [ a , b ]. Las consideraciones anteriores motivan la siguiente definición :
Definición 5.6 . Una función f : R → R definida y acotada en un intervalo [ a , b ] es integrable en [ a , b ] si
∫ b
a f =
∫ b
Al valor común de ambas integrales lo denotaremos por f , y lo denominaremos integral de f en [ a , b ]. a f .
∫ b
a
Otra notación equivalente para ∫ b f que es muy útil en la práctica es
∫ b a a f ( x ) dx . Obsérvese que en esta notación x es una variable muda , es
decir
∫ b
a f ( x ) dx =
∫ b
a f ( t ) dt =
∫ b
a f ( s ) ds = · · · ≡
Los prerequisitos para que f sea integrable en [ a , b ] son que dom f ⊃ [ a , b ], y que f esté acotada en dicho intervalo .
Nótese que de momento no está definido el símbolo ∫ b a f si a ≥ b ; veremos más adelante cómo generalizar la definición de integral en
este caso .
Una consecuencia inmediata de ( 5.1 ) y de la definición de función integrable es la siguiente
Proposición 5.7 . Si f es integrable en [ a , b ] y s ∈ R satisface
entonces ∫ b a f = s .
L ( f , P ) ≤ s ≤ U ( f , P ), ∀P ∈ P [ a , b ],
Demostración . En efecto ( véase la ec . ( 5.1 ))
∫ b
a f =
∫ b
a f ≤ s ≤
∫ b
a f =
∫ b
a f .
∫ b
a f .
Q . E . D .