CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 99
y análogamente definiremos la integral superior de f en [ a, b ] por
∫ b
a f = inf { U( f, P): P ∈ P [ a, b ]}.
Por lo visto anteriormente, para toda función f acotada en [ a, b ] se cumple
∫ b
a f ≤
Además, si s ∈ R es un número tal que
entonces se ha de cumplir
∫ b
a
es decir
∫ b
L( f, P) ≤ s ≤ U( f, P), ∀P ∈ P [ a, b ],
f = sup { L( f, P): P ∈ P [ a, b ]} ≤ s
∫ b
a f ≤ s ≤
a f.
≤ inf { U( f, P): P ∈ P [ a, b ]} =
∫ b
a
∫ b
a f,
f.( 5.1)
Intuitivamente, la integral inferior de f en [ a, b ] es el límite de las aproximaciones por defecto al área bajo la gráfica de f en [ a, b ], y análogamente la integral superior es el límite de las aproximaciones por exceso a dicha área. Por tanto, el área bajo la gráfica de f en [ a, b ] habría de ser igual a ambos límites, para lo cual es necesario que el valor de la integral inferior coincida con el de la integral superior. Es fácil ver que esto no siempre ocurre:
Ejemplo 5.5. Sea f: R → R la función característica de Q( es decir, f( x) = 1 si x ∈ Q y f( x) = 0 si x / ∈ Q), y sea P = { x 0,..., x n } una partición cualquiera de un intervalo arbitrario [ a, b ]. Obviamente, en este caso m i = 0 y M i = 1 para todo i = 1,..., n( ya que cualquier intervalo [ x i−1, x i ] con x i−1 < x i contiene tanto racionales como irracionales), por lo que
L( f, P) =
y por tanto n∑ 0 ·( x i −x i−1) = 0, U( f, P) = i = 1
∫ b
a f = 0 <
∫ b
a n∑ 1 ·( x i −x i−1) = x n −x 0 = b−a, i = 1
f = b − a.