CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 99
y análogamente definiremos la integral superior de f en [ a , b ] por
∫ b
a f = inf { U ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} .
Por lo visto anteriormente , para toda función f acotada en [ a , b ] se cumple
∫ b
a f ≤
Además , si s ∈ R es un número tal que
entonces se ha de cumplir
∫ b
a
es decir
∫ b
L ( f , P ) ≤ s ≤ U ( f , P ), ∀P ∈ P [ a , b ],
f = sup { L ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} ≤ s
∫ b
a f ≤ s ≤
a f .
≤ inf { U ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} =
∫ b
a
∫ b
a f ,
f . ( 5.1 )
Intuitivamente , la integral inferior de f en [ a , b ] es el límite de las aproximaciones por defecto al área bajo la gráfica de f en [ a , b ], y análogamente la integral superior es el límite de las aproximaciones por exceso a dicha área . Por tanto , el área bajo la gráfica de f en [ a , b ] habría de ser igual a ambos límites , para lo cual es necesario que el valor de la integral inferior coincida con el de la integral superior . Es fácil ver que esto no siempre ocurre :
Ejemplo 5.5 . Sea f : R → R la función característica de Q ( es decir , f ( x ) = 1 si x ∈ Q y f ( x ) = 0 si x / ∈ Q ), y sea P = { x 0 ,..., x n } una partición cualquiera de un intervalo arbitrario [ a , b ]. Obviamente , en este caso m i = 0 y M i = 1 para todo i = 1 ,... , n ( ya que cualquier intervalo [ x i−1 , x i ] con x i−1 < x i contiene tanto racionales como irracionales ), por lo que
L ( f , P ) =
y por tanto n∑ 0 ·( x i −x i−1 ) = 0 , U ( f , P ) = i = 1
∫ b
a f = 0 <
∫ b
a n∑ 1 ·( x i −x i−1 ) = x n −x 0 = b−a , i = 1
f = b − a .