CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 98
y por tanto L( f, Q) − L( f, P) ≥ m k( t − x k−1) + m k( x k − t) − m k( x k − x k−1) = 0.
El resultado análogo para sumas superiores se demuestra aplicando el anterior a −f:
U( f, Q) = −L( −f, Q) ≤ −L( −f, P) = U( f, P).
ii) Sea ahora Q ⊃ P una partición cualquiera más fina que P. Si P = P 0 ⊂ P 1 ⊂ · · · ⊂ P n−1 ⊂ P n = Q es una sucesión de particiones de [ a, b ] que difieren exactamente en un punto entonces se cumple, por el apartado anterior, que
L( f, P) = L( f, P 0) ≤ L( f, P 1) ≤ · · · ≤ L( f, P n) = L( f, Q), y análogamente para las sumas superiores. Q. E. D. Proposición 5.4. Si P y Q son dos particiones de [ a, b ], entonces se cumple L( f, P) ≤ U( f, Q).
Demostración. Si P y Q son dos particiones arbitrarias de [ a, b ], la partición P ∪ Q es más fina a la vez que P y que Q. Por tanto, aplicando dos veces el lema anterior se obtiene:
L( f, P) ≤ L( f, P ∪ Q) ≤ U( f, P ∪ Q) ≤ U( f, Q). Q. E. D.
Sea de nuevo f una función acotada en [ a, b ]. En virtud de la proposición anterior, cualquier suma superior de f en [ a, b ] es una cota superior del conjunto de todas las sumas inferiores de f en [ a, b ], y por tanto se cumple:
sup { L( f, P): P ∈ P [ a, b ]} ≤ U( f, Q), ∀Q ∈ P [ a, b ],
donde hemos denotado por P [ a, b ] al conjunto de todas las particiones del intervalo [ a, b ]. Pero esta última desigualdad implica que sup { L( f, P): P ∈ P [ a, b ]} es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores de f en [ a, b ], donde se deduce que
sup { L( f, P): P ∈ P [ a, b ]} ≤ inf { U( f, P): P ∈ P [ a, b ]}. Por definición, llamaremos integral inferior de f en [ a, b ] al número
∫ b
a f = sup { L( f, P): P ∈ P [ a, b ]},