CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 98
y por tanto L ( f , Q ) − L ( f , P ) ≥ m k ( t − x k−1 ) + m k ( x k − t ) − m k ( x k − x k−1 ) = 0 .
El resultado análogo para sumas superiores se demuestra aplicando el anterior a −f :
U ( f , Q ) = −L ( −f , Q ) ≤ −L ( −f , P ) = U ( f , P ).
ii ) Sea ahora Q ⊃ P una partición cualquiera más fina que P . Si P = P 0 ⊂ P 1 ⊂ · · · ⊂ P n−1 ⊂ P n = Q es una sucesión de particiones de [ a , b ] que difieren exactamente en un punto entonces se cumple , por el apartado anterior , que
L ( f , P ) = L ( f , P 0 ) ≤ L ( f , P 1 ) ≤ · · · ≤ L ( f , P n ) = L ( f , Q ), y análogamente para las sumas superiores . Q . E . D . Proposición 5.4 . Si P y Q son dos particiones de [ a , b ], entonces se cumple L ( f , P ) ≤ U ( f , Q ).
Demostración . Si P y Q son dos particiones arbitrarias de [ a , b ], la partición P ∪ Q es más fina a la vez que P y que Q . Por tanto , aplicando dos veces el lema anterior se obtiene :
L ( f , P ) ≤ L ( f , P ∪ Q ) ≤ U ( f , P ∪ Q ) ≤ U ( f , Q ). Q . E . D .
Sea de nuevo f una función acotada en [ a , b ]. En virtud de la proposición anterior , cualquier suma superior de f en [ a , b ] es una cota superior del conjunto de todas las sumas inferiores de f en [ a , b ], y por tanto se cumple :
sup { L ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} ≤ U ( f , Q ), ∀Q ∈ P [ a , b ],
donde hemos denotado por P [ a , b ] al conjunto de todas las particiones del intervalo [ a , b ]. Pero esta última desigualdad implica que sup { L ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores de f en [ a , b ], donde se deduce que
sup { L ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} ≤ inf { U ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} . Por definición , llamaremos integral inferior de f en [ a , b ] al número
∫ b
a f = sup { L ( f , P ) : P ∈ P [ a , b ]} ,