CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 97
Análogamente , la suma superior de f asociada a P es el número U ( f , P ) definido por n∑ U ( f , P ) = M i ( x i − x i−1 ). i = 1
Nótese que m i y M i están definidos para todo i = 1,2 ,... , n , al ser f acotada en [ a , b ]. Además , si f es continua en [ a , b ] entonces
m i = mín { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} , M i = máx { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} ,
aunque esto no tiene por qué ser cierto si f es discontinua en algún punto de [ a , b ].
Es fácil ver que L ( f , P ) = −U ( −f , P ), U ( f , P ) = −L ( −f , P ).
Como m i ≤ M i para i = 1,2 ,... , n , es evidente que L ( f , P ) ≤ U ( f , P ), ∀P partición de [ a , b ].
Si nuestras ideas intuitivas son correctas , también debería ser cierto que cualquier suma inferior L ( f , P 1 ) es menor ó igual que cualquier suma superior U ( f , P 2 ), cualesquiera que sean las particiones P 1 y P 2 de [ a , b ] que consideremos . Para probar esto empezaremos con el siguiente lema ( que también es intuitivamente evidente ):
Proposición 5.3 . Si P y Q son dos particiones de [ a , b ] y Q es más fina que P entonces se verifica
L ( f , P ) ≤ L ( f , Q ) ≤ U ( f , Q ) ≤ U ( f , P ).
Demostración . i ) Supongamos , para empezar , que Q = P ∪ { t }, con t / ∈ P ( en otras palabras , Q contiene exactamente un punto más que P ). Sea , por ejemplo , t ∈ ( x k−1 , x k ), y llamemos
m ′ = inf { f ( x ) : x ∈ [ x k−1 , t ]} , m ′′ = inf { f ( x ) : x ∈ [ t , x k ]} . Entonces se tiene
L ( f , Q ) − L ( f , P ) = m ′ ( t − x k−1 ) + m ′′ ( x k − t ) − m k ( x k − x k−1 ). Como x k−1 < t < x k se verifica
m k = inf { f ( x ) : x ∈ [ x k−1 , x k ]} ≤ inf { f ( x ) : x ∈ [ x k−1 , t ]} = m ′ , m k = inf { f ( x ) : x ∈ [ x k−1 , x k ]} ≤ inf { f ( x ) : x ∈ [ t , x k ]} = m ′′ ,