CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 97
Análogamente, la suma superior de f asociada a P es el número U( f, P) definido por n∑ U( f, P) = M i( x i − x i−1). i = 1
Nótese que m i y M i están definidos para todo i = 1,2,..., n, al ser f acotada en [ a, b ]. Además, si f es continua en [ a, b ] entonces
m i = mín { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, M i = máx { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]},
aunque esto no tiene por qué ser cierto si f es discontinua en algún punto de [ a, b ].
Es fácil ver que L( f, P) = −U( −f, P), U( f, P) = −L( −f, P).
Como m i ≤ M i para i = 1,2,..., n, es evidente que L( f, P) ≤ U( f, P), ∀P partición de [ a, b ].
Si nuestras ideas intuitivas son correctas, también debería ser cierto que cualquier suma inferior L( f, P 1) es menor ó igual que cualquier suma superior U( f, P 2), cualesquiera que sean las particiones P 1 y P 2 de [ a, b ] que consideremos. Para probar esto empezaremos con el siguiente lema( que también es intuitivamente evidente):
Proposición 5.3. Si P y Q son dos particiones de [ a, b ] y Q es más fina que P entonces se verifica
L( f, P) ≤ L( f, Q) ≤ U( f, Q) ≤ U( f, P).
Demostración. i) Supongamos, para empezar, que Q = P ∪ { t }, con t / ∈ P( en otras palabras, Q contiene exactamente un punto más que P). Sea, por ejemplo, t ∈( x k−1, x k), y llamemos
m ′ = inf { f( x): x ∈ [ x k−1, t ]}, m ′′ = inf { f( x): x ∈ [ t, x k ]}. Entonces se tiene
L( f, Q) − L( f, P) = m ′( t − x k−1) + m ′′( x k − t) − m k( x k − x k−1). Como x k−1 < t < x k se verifica
m k = inf { f( x): x ∈ [ x k−1, x k ]} ≤ inf { f( x): x ∈ [ x k−1, t ]} = m ′, m k = inf { f( x): x ∈ [ x k−1, x k ]} ≤ inf { f( x): x ∈ [ t, x k ]} = m ′′,