CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 96
f( x) a b x
Figura 5.1: definición de ∫ b a f
Si, al hacer la partición del intervalo [ a, b ] cada vez más fina( es decir, con más puntos, que por tanto estarán cada vez menos espaciados) la aproximación por exceso y la aproximación por defecto tienden al mismo valor, dicho límite común se definirá como la integral de f en [ a, b ].
Definición 5.1. Una partición P del intervalo [ a, b ] es cualquier subconjunto finito P ⊂ [ a, b ] que contiene a los extremos a y b del intervalo. Una partición P ′ es más fina que la partición P si P ⊂ P ′.
Si P es una partición de [ a, b ] entonces P = { x 0, x 1,..., x n }, donde siempre supondremos( sin pérdida de generalidad) que los elementos de P han sido numerados de menor a mayor:
a = x 0 < x 1 <... < x n−1 < x n = b.
Obsérvese que el menor elemento de la partición( a) lleva el subíndice 0, de forma que el subíndice correspondiente al último elemento( b) es igual al número de subintervalos en que la partición divide al intervalo [ a, b ]. Nótese también que no exigimos que las longitudes x i − x i−1 de los subintervalos de la partición sean todas iguales.
Definamos a continuación en forma precisa las dos aproximaciones( por defecto y por exceso) al área bajo la gráfica de f en [ a, b ] que mencionábamos al principio de esta sección:
Definición 5.2. Sea f: R → R una función acotada en [ a, b ], y sea [ a, b ] ⊂ dom f. Si P = { x 0, x 1,..., x n } es una partición de [ a, b ], para i = 1,2,..., n definimos
m i = inf { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}, M i = sup { f( x): x ∈ [ x i−1, x i ]}.
La suma inferior de f asociada a la partición P es el número L( f, P) definido por n∑ L( f, P) = m i( x i − x i−1). i = 1