CAPÍTULO 5 . INTEGRACIÓN 96
f ( x ) a b x
Figura 5.1 : definición de ∫ b a f
Si , al hacer la partición del intervalo [ a , b ] cada vez más fina ( es decir , con más puntos , que por tanto estarán cada vez menos espaciados ) la aproximación por exceso y la aproximación por defecto tienden al mismo valor , dicho límite común se definirá como la integral de f en [ a , b ].
Definición 5.1 . Una partición P del intervalo [ a , b ] es cualquier subconjunto finito P ⊂ [ a , b ] que contiene a los extremos a y b del intervalo . Una partición P ′ es más fina que la partición P si P ⊂ P ′ .
Si P es una partición de [ a , b ] entonces P = { x 0 , x 1 ,... , x n }, donde siempre supondremos ( sin pérdida de generalidad ) que los elementos de P han sido numerados de menor a mayor :
a = x 0 < x 1 < ... < x n−1 < x n = b .
Obsérvese que el menor elemento de la partición ( a ) lleva el subíndice 0 , de forma que el subíndice correspondiente al último elemento ( b ) es igual al número de subintervalos en que la partición divide al intervalo [ a , b ]. Nótese también que no exigimos que las longitudes x i − x i−1 de los subintervalos de la partición sean todas iguales .
Definamos a continuación en forma precisa las dos aproximaciones ( por defecto y por exceso ) al área bajo la gráfica de f en [ a , b ] que mencionábamos al principio de esta sección :
Definición 5.2 . Sea f : R → R una función acotada en [ a , b ], y sea [ a , b ] ⊂ dom f . Si P = { x 0 , x 1 ,..., x n } es una partición de [ a , b ], para i = 1,2 ,... , n definimos
m i = inf { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} , M i = sup { f ( x ) : x ∈ [ x i−1 , x i ]} .
La suma inferior de f asociada a la partición P es el número L ( f , P ) definido por n∑ L ( f , P ) = m i ( x i − x i−1 ). i = 1