Capítulo 5
Integración
5.1 . Preliminares
Históricamente , el concepto de integral de una función surgió en relación con dos problemas aparentemente distintos pero en realidad íntimamente relacionados . Por un lado , la integral definida de una función f : R → R en un intervalo [ a , b ] ( en el cuál f está definida y es no negativa ) se define como el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje de abscisas en el intervalo [ a , b ]. Por otro lado , la integral indefinida ( ó primitiva ) de f es cualquier función derivable cuya derivada es f . El teorema fundamental del cálculo relaciona ambos conceptos , estableciendo ( bajo ciertas condiciones técnicas que veremos más adelante ) que la función cuyo valor en x es la integral definida de f en [ a , x ] es una primitiva de f , y que la integral definida de f en [ a , b ] se puede calcular como la diferencia entre los valores en b y en a de cualquier primitiva de f .
Empezaremos definiendo analíticamente la integral definida , guiados por la idea intuitiva de que dicha integral mide el área bajo la gráfica de la función . Los pasos que hay que dar para ello son , en forma resumida , los siguientes . Primero dividimos el intervalo [ a , b ] en un cierto número de subintervalos . En cada uno de ellos , aproximamos por defecto el área bajo la gráfica de la función por el área de un rectángulo de la misma anchura que el subintervalo y altura igual al ínfimo de los valores de la función en dicho subintervalo . Sumando las áreas de todos estos rectángulos obtendremos una aproximación por defecto al área bajo la gráfica de la función en [ a , b ]. Análogamente , aproximaremos por exceso el área bajo la gráfica de la función por el área de un rectángulo con base el subintervalo y altura dada por el supremo de los valores de f en dicho subintervalo . De nuevo , la suma de estas áreas proporciona una aproximación al área bajo la gráfica de la función en el intervalo [ a , b ], aunque ahora se trata de una aproximación por exceso ( cf . fig . 5.1 ).
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