Capítulo 5
Integración
5.1. Preliminares
Históricamente, el concepto de integral de una función surgió en relación con dos problemas aparentemente distintos pero en realidad íntimamente relacionados. Por un lado, la integral definida de una función f: R → R en un intervalo [ a, b ]( en el cuál f está definida y es no negativa) se define como el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje de abscisas en el intervalo [ a, b ]. Por otro lado, la integral indefinida( ó primitiva) de f es cualquier función derivable cuya derivada es f. El teorema fundamental del cálculo relaciona ambos conceptos, estableciendo( bajo ciertas condiciones técnicas que veremos más adelante) que la función cuyo valor en x es la integral definida de f en [ a, x ] es una primitiva de f, y que la integral definida de f en [ a, b ] se puede calcular como la diferencia entre los valores en b y en a de cualquier primitiva de f.
Empezaremos definiendo analíticamente la integral definida, guiados por la idea intuitiva de que dicha integral mide el área bajo la gráfica de la función. Los pasos que hay que dar para ello son, en forma resumida, los siguientes. Primero dividimos el intervalo [ a, b ] en un cierto número de subintervalos. En cada uno de ellos, aproximamos por defecto el área bajo la gráfica de la función por el área de un rectángulo de la misma anchura que el subintervalo y altura igual al ínfimo de los valores de la función en dicho subintervalo. Sumando las áreas de todos estos rectángulos obtendremos una aproximación por defecto al área bajo la gráfica de la función en [ a, b ]. Análogamente, aproximaremos por exceso el área bajo la gráfica de la función por el área de un rectángulo con base el subintervalo y altura dada por el supremo de los valores de f en dicho subintervalo. De nuevo, la suma de estas áreas proporciona una aproximación al área bajo la gráfica de la función en el intervalo [ a, b ], aunque ahora se trata de una aproximación por exceso( cf. fig. 5.1).
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