CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN 118
∫
Un poco más complicada es la evaluación de la siguiente integral: ∫
∫ e x cos xdx = e x cos x + e x sen xdx = e x cos x + e x sen x − e x cos xdx
lo que implica
y ∫
∫
∫ e x sen xdx =
5.5.2. Cambio de variable
e x cos xdx = 1 2 ex( sen x + cos x)
e x cos xdx − e x cos x = 1 2 ex( sen x − cos x).
El siguiente método de integración( integración por sustitución ó cambio de variable) es la versión integral de la regla de la cadena:
Teorema 5.22. Sea g: R → R una función con derivada continua en [ a, b ], y sea f: R → R continua en g([ a, b ]). Si F es una primitiva de f en g([ a, b ]) entonces se cumple
∫ f( g( x)) g ′( x) dx = F( g( x)).( 5.10)
En particular,
∫ b
a f( g( x)) g ′( x) dx =
∫ g( b)
g( a) f( u) du.( 5.11)
Demostración. En primer lugar, al ser g continua en [ a, b ] g([ a, b ]) es un intervalo. La continuidad de f en g([ a, b ]) garantiza a su vez la existencia de
∫ una primitiva de f en dicho intervalo( por ejemplo, puede tomarse F( x) = x
c f, siendo c un punto cualquiera de g([ a, b ])). Aplicando la regla de la cadena a la función F ◦g se obtiene
( F ◦g) ′( x) = F ′( g( x)) g ′( x) = f( g( x)) g ′( x), ∀x ∈ [ a, b ].
Por tanto F ◦g es una primitiva de la función( f ◦g) g ′, que es exactamente lo que afirma( 5.10). Por otra parte, al ser( f ◦g) g ′ continua en [ a, b ] por las hipótesis acerca de f y g, la regla de Barrow afirma que ∫ b a( f ◦g) g ′ =
∫ b a f( g( x)) g ′( x) dx es igual a G( b) − G( a), siendo G cualquier primitiva de dicha función. Tomando( por la parte anterior) G = F ◦g con F( x) = ∫ x c f se obtiene( 5.11). Q. E. D.
La fórmula( 5.10), que expresa el comportamiento de ∫ f( u) du bajo el cambio de variable u = g( x), se escribe normalmente de la siguiente forma, menos precisa pero más sugestiva y fácil de recordar:
∫
[ ∫ ] f( g( x)) g ′( x) dx = f( u) du.( 5.12) u = g( x)