I FRATTALI Benoit Mandelbrot , nel 1975 , coniò il nome di " frattale ", ovvero " frammento ", per indicare quello che già precedentemente , dal 1875 al 1925 , i matematici avevano individuato e quindi definito come " mostri ", intendendo delle forme appartenenti alla geometria non euclidea , che oggi sappiamo essere alla base di ogni forma esistente nell ' universo . Questi sono forme particolari che possiamo definire oggetti , la cui dimensione può non essere intera ma continuare a riprodursi all ' infinito . Infatti , la caratteristica di queste figure , caratteristica dalla quale , per altro , deriva il loro nome , è che , sebbene esse possano essere rappresentate in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni , la loro dimensione non è intera .
Da punto di vista strettamente matematico si definisce frattale un insieme F , con proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito : 1 . Autosimilarità : F è unione di un numero di parti che , ingrandite di un certo fattore , riproducono tutto F ; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti . 2 . Struttura fine : F rivela dettagli ad ogni ingrandimento . 3 . Irregolarità : F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche . 4 . Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica . In altre parole un frattale è una forma particolare che , se continuata a ingrandire , propone sempre e unicamente se stessa !
I frattali e le spirali Come abbiamo già visto , le spirali sono alla base del mondo vivente . Anche nella natura inanimata scopriamo spirali , come ad esempio le galassie , che sono , appunto , a spirale . Le spirali sono pure alla base dei frattali . Tornando ad approfondire questo simbolo , o disegno matematico , se si preferisce , osserviamo tre tipi comuni di spirali piane .
- La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il filo sempre teso ; la fine del filo traccerà una spirale ( vedi immagine );
In effetti la lunghezza di un frattale " piano " non può essere misurata definitamene , ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale . È proprio questo che genera l ' indefinitezza , che è poi una delle caratteristiche peculiari di tali costruzioni matematiche . Ovvero la possibilità di iterare virtualmente all ' infinito per ciascun punto prima di passare al successivo . Quindi , per " disegnare " un frattale attraverso , per esempio , un elaboratore , è necessario precisare il numero massimo di iterazioni : un tempo finito non basterebbe per calcolare un punto del frattale a infinite iterazioni .
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- La spirale di Archimede , che è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula r = af .