I FRATTALI Benoit Mandelbrot, nel 1975, coniò il nome di " frattale ", ovvero " frammento ", per indicare quello che già precedentemente, dal 1875 al 1925, i matematici avevano individuato e quindi definito come " mostri ", intendendo delle forme appartenenti alla geometria non euclidea, che oggi sappiamo essere alla base di ogni forma esistente nell ' universo. Questi sono forme particolari che possiamo definire oggetti, la cui dimensione può non essere intera ma continuare a riprodursi all ' infinito. Infatti, la caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale, per altro, deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera.
Da punto di vista strettamente matematico si definisce frattale un insieme F, con proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito: 1. Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti. 2. Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento. 3. Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. 4. Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica. In altre parole un frattale è una forma particolare che, se continuata a ingrandire, propone sempre e unicamente se stessa!
I frattali e le spirali Come abbiamo già visto, le spirali sono alla base del mondo vivente. Anche nella natura inanimata scopriamo spirali, come ad esempio le galassie, che sono, appunto, a spirale. Le spirali sono pure alla base dei frattali. Tornando ad approfondire questo simbolo, o disegno matematico, se si preferisce, osserviamo tre tipi comuni di spirali piane.
- La spirale evoluta è quella che si ottiene srotolando un gomitolo e tenendo il filo sempre teso; la fine del filo traccerà una spirale( vedi immagine);
In effetti la lunghezza di un frattale " piano " non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. È proprio questo che genera l ' indefinitezza, che è poi una delle caratteristiche peculiari di tali costruzioni matematiche. Ovvero la possibilità di iterare virtualmente all ' infinito per ciascun punto prima di passare al successivo. Quindi, per " disegnare " un frattale attraverso, per esempio, un elaboratore, è necessario precisare il numero massimo di iterazioni: un tempo finito non basterebbe per calcolare un punto del frattale a infinite iterazioni.
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- La spirale di Archimede, che è la più semplice ed è espressa in coordinate polari con la formula r = af.