Ìàòåìàòèêà
Докажите , что косинус угла между ними равен -
4
5 [ 3 ].
¹ 8-9 ( 8 ) 2015
Решение : Введем систему координат так , как показано на рисунке . В этом случае вершины треугольника будут иметь координаты : C ( 0,0 ), A ( a , 0 ), B ( 0 , a ), а середины катетов :.
� a � � a � B1 � , 0 �; A1
�0 , � � 2 � � 2 �
���� � a � � a � AA1 � �0 � a; � 0 � � ��a;
� � 2 � � 2 �
( Здесь а - длина катета ). По формуле ( 4 ) вычислим координаты векторов
���� � a � � a � BB1 �� �0 ; 0 � a� � � ; �a�.
� 2 � � 2 � a a ���� ���� ( �a) � � �( �a)
2 2 4 cos � AA1 , BB1
� � � � .
2 2
5
2 � a � � a �
2
( �a) � � � � � � � ( �a) � 2 � � 2 �
и
Теперь используем формулу для вычисления косинуса угла между векторами . ( Этот угол совпадает с углом между медианами ).
Алгебраический метод Задача № 3 6 В ромб , который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника , вписана окружность радиуса r ( Рисунок 3 ). Доказать , что длина стороны ромба равна 4r
3
[ 4 ].
Решение :
3
AB � AD � AD , BE �
AB 2
|
AB
3
2r
� ,
4r
2
|
AB |
3 |
|
4r
3
AB �
.
3
|
|
|
� ,
3
ЛИТЕРАТУРА .
1 . Заславский А . А ., Протасов В . Ю ., Шарыгин И . Ф . Геометрические олимпиады им . И . Ф . Шарыгина . // - М .: МЦНМО , 2007 - 120-148с . 2 . Рустюмова И . П ., Рустюмова С . Т . Тренажер по математике для подготовки ЕНТ . // - Алматы , 2011 - 628с . 3 . Балаян Э . Н . 555 олимпиадных и занимательных задач по математике . // - Ростов н / Д : Феникс , 2010 - 253с . 4 . Яровенко В . А . Поурочные разработки по геометрии . // - М .: ВАКО , 2012 - 299с .
5