Ìàòåìàòèêà
Докажите, что косинус угла между ними равен-
4
5 [ 3 ].
¹ 8-9( 8) 2015
Решение: Введем систему координат так, как показано на рисунке. В этом случае вершины треугольника будут иметь координаты: C( 0,0), A( a, 0), B( 0, a), а середины катетов:.
� a � � a � B1 �, 0 �; A1
�0, � � 2 � � 2 �
���� � a � � a � AA1 � �0 � a; � 0 � � ��a;
� � 2 � � 2 �
( Здесь а- длина катета). По формуле( 4) вычислим координаты векторов
���� � a � � a � BB1 �� �0; 0 � a� � �; �a�.
� 2 � � 2 � a a ���� ����( �a) � � �( �a)
2 2 4 cos � AA1, BB1
� � � �.
2 2
5
2 � a � � a �
2
( �a) � � � � � � �( �a) � 2 � � 2 �
и
Теперь используем формулу для вычисления косинуса угла между векторами.( Этот угол совпадает с углом между медианами).
Алгебраический метод Задача № 3 6 В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса r( Рисунок 3). Доказать, что длина стороны ромба равна 4r
3
[ 4 ].
Решение:
3
AB � AD � AD, BE �
AB 2
|
AB
3
2r
�,
4r
2
|
AB |
3 |
|
4r
3
AB �
.
3
|
|
|
�,
3
ЛИТЕРАТУРА.
1. Заславский А. А., Протасов В. Ю., Шарыгин И. Ф. Геометрические олимпиады им. И. Ф. Шарыгина. //- М.: МЦНМО, 2007- 120-148с. 2. Рустюмова И. П., Рустюмова С. Т. Тренажер по математике для подготовки ЕНТ. //- Алматы, 2011- 628с. 3. Балаян Э. Н. 555 олимпиадных и занимательных задач по математике. //- Ростов н / Д: Феникс, 2010- 253с. 4. Яровенко В. А. Поурочные разработки по геометрии. //- М.: ВАКО, 2012- 299с.
5