Ìàòåìàòèêà
¹ 6 ( 13 ) 2016
Мақалада Лаплас теңдеуі үшін сыртқы шектік Дирихле есебінің қойылуы қарастырылады . Шектік есептің аналитикалық шешімі идеал сұйықтықтағы дене қозғалысын математикалық түрлендіруде қолдануға болатыны көрсетілген .
В статье рассмотрена постановка внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа . Аналитическое решение краевой задачи может быть использовано для математического моделировании движении тел в идеальной жидкости .
СМАИЛОВА БАЛЖАН ТЕМІРБОЛАТҚЫЗЫ
Семей қаласындағы Шәкәрім атындағы Мемлекеттік Университетінің 2-курс магистранты
In the article is considered the formulation of external Dirichlet problem for the Laplace ' s equation . The analytical solution of the problem can be used for mathematical modeling of motion of bodies in an ideal fluid .
ДИРИХЛЕ ЕСЕБІНІҢ ГИДРОДИНАМИКАДА ҚОЛДАНЫСЫ
Сұйық ағынының жақсы зерттелген класы потенциалды жазық ағындар . Егер сұйықтың қозғалысы кезінде жазық қисықтар боп келетін ток сызығы параллель жазықтықтарда орналасқан болса , онда осы жазықтықтарға перпендикуляр болып келетін бір түзуде жататын бөлшектер бірдей қозғалыс жасайды . Сұйықтықтың бұл қозғалысын жазық қозғалыс деп атайды . Сұйықтық ХУ жазықтығына параллель жазық қозғалыс жасайды деп болжайық . Онда қозғалыс характеристикасы екі кеңістіктік айнымалыларға тәуелді болып келеді . Егер сұйықтық сығылмайтын болса , онда
үзіліссіздік теңдеуі орын алады . Сондықтан
ток сызығының дифференциалды теңдеуі
∂v x
∂x
∂v x = ∂ ( −v y ) ∂x ∂y
dx v x ( x , y , t ) =
+ ∂v y
∂y = 0 dy
v y ( x , y , t ) немесе −v y dx + v x dy = 0 ( 2 )
( 1 ) теңдігінің орындалуы ( 2 ) өрнегі толық дифференциал болып табылуының қажетті және жеткілікті шарты болады , яғни толық дифференциалы үшін dψ = −v y dx + v x dy = 0 ( 3 ) көрсетілуі орындалатын ψ ( x , y , t ) скаляр функциясы бар болатын
∂ψ мұндағы = −v ∂x y = ∂φ , ∂ψ = v ∂y ∂y x = ∂φ ∂x
( 3 ) интегралдай отыра ψ ( x , y , t ) = const ток сызығының бойынан аламыз . ψ ( x , y , t ) функциясы ток функциясы деп аталып , жазық ағындарды сипаттау үшін кіргізіледі . Егер жазық қозғалыс потенциалды болса , құйын жылдамдығының компоненттері нольге тең :
∂v z
∂y
− ∂v y = 0 , ∂v x − ∂v z = 0 , ∂v y − ∂v x = − ∂ 2 ψ − ∂2 ψ = 0 ( 4 )
∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
Демек , ток функциясы кеңістіктік айнымалылар бойынша гармониялық функция болып табылады . γ еркін тегіс қимасы бар цилиндрлік дене идеал сұйықта қозғалады және қаптап ағуды потенциалды деп есептейміз . Мұндағы ток функциясы D e облысында , цилиндрге қатысты сыртқы гармониялық функция :
Δψ = 0 , ( x , y ) ∈ D e . ( 5 ) Егер дене шексіздіктегі сұйықтықта қозғалатын болса , онда келесі шарттар орындалады
∂ψ → 0 , ∂ψ
→ 0 . ( x , y ) →∝ . ( 6 )
∂x ∂y
Цилинр бетінің қимасы тегіс қисық болғандаықтан , γ контурдың әрбір нүктесінде n нормаль және τ жанама вектор анықталған болады . Х осі мен τ векторының арасындағы бұрышты θ деп белгілейміз . ( 1 сур .)
( 1 )
7