Ìàòåìàòèêà
¹ 6( 13) 2016
Мақалада Лаплас теңдеуі үшін сыртқы шектік Дирихле есебінің қойылуы қарастырылады. Шектік есептің аналитикалық шешімі идеал сұйықтықтағы дене қозғалысын математикалық түрлендіруде қолдануға болатыны көрсетілген.
В статье рассмотрена постановка внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Аналитическое решение краевой задачи может быть использовано для математического моделировании движении тел в идеальной жидкости.
СМАИЛОВА БАЛЖАН ТЕМІРБОЛАТҚЫЗЫ
Семей қаласындағы Шәкәрім атындағы Мемлекеттік Университетінің 2-курс магистранты
In the article is considered the formulation of external Dirichlet problem for the Laplace ' s equation. The analytical solution of the problem can be used for mathematical modeling of motion of bodies in an ideal fluid.
ДИРИХЛЕ ЕСЕБІНІҢ ГИДРОДИНАМИКАДА ҚОЛДАНЫСЫ
Сұйық ағынының жақсы зерттелген класы потенциалды жазық ағындар. Егер сұйықтың қозғалысы кезінде жазық қисықтар боп келетін ток сызығы параллель жазықтықтарда орналасқан болса, онда осы жазықтықтарға перпендикуляр болып келетін бір түзуде жататын бөлшектер бірдей қозғалыс жасайды. Сұйықтықтың бұл қозғалысын жазық қозғалыс деп атайды. Сұйықтық ХУ жазықтығына параллель жазық қозғалыс жасайды деп болжайық. Онда қозғалыс характеристикасы екі кеңістіктік айнымалыларға тәуелді болып келеді. Егер сұйықтық сығылмайтын болса, онда
үзіліссіздік теңдеуі орын алады. Сондықтан
ток сызығының дифференциалды теңдеуі
∂v x
∂x
∂v x = ∂( −v y) ∂x ∂y
dx v x( x, y, t) =
+ ∂v y
∂y = 0 dy
v y( x, y, t) немесе −v y dx + v x dy = 0( 2)
( 1) теңдігінің орындалуы( 2) өрнегі толық дифференциал болып табылуының қажетті және жеткілікті шарты болады, яғни толық дифференциалы үшін dψ = −v y dx + v x dy = 0( 3) көрсетілуі орындалатын ψ( x, y, t) скаляр функциясы бар болатын
∂ψ мұндағы = −v ∂x y = ∂φ, ∂ψ = v ∂y ∂y x = ∂φ ∂x
( 3) интегралдай отыра ψ( x, y, t) = const ток сызығының бойынан аламыз. ψ( x, y, t) функциясы ток функциясы деп аталып, жазық ағындарды сипаттау үшін кіргізіледі. Егер жазық қозғалыс потенциалды болса, құйын жылдамдығының компоненттері нольге тең:
∂v z
∂y
− ∂v y = 0, ∂v x − ∂v z = 0, ∂v y − ∂v x = − ∂ 2 ψ − ∂2 ψ = 0( 4)
∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
Демек, ток функциясы кеңістіктік айнымалылар бойынша гармониялық функция болып табылады. γ еркін тегіс қимасы бар цилиндрлік дене идеал сұйықта қозғалады және қаптап ағуды потенциалды деп есептейміз. Мұндағы ток функциясы D e облысында, цилиндрге қатысты сыртқы гармониялық функция:
Δψ = 0,( x, y) ∈ D e.( 5) Егер дене шексіздіктегі сұйықтықта қозғалатын болса, онда келесі шарттар орындалады
∂ψ → 0, ∂ψ
→ 0.( x, y) →∝.( 6)
∂x ∂y
Цилинр бетінің қимасы тегіс қисық болғандаықтан, γ контурдың әрбір нүктесінде n нормаль және τ жанама вектор анықталған болады. Х осі мен τ векторының арасындағы бұрышты θ деп белгілейміз.( 1 сур.)
( 1)
7