Ìàòåìàòèêà
¹6 (13) 2016
Ізделінді екінші нүктенің координаталарын табу үшін x-тің нөлден өзгеше қандай да бір (мүмкін) мәнін
қойып, оған сәйкес у-тін мәнін табу керек.
Мысалы, у=2х функциясы үшін, х=2 болғанда у=4. А(2;4) нүктесін алу керек. Табылған О(0;0) және А(2;4)
нүктелері арқылы жүргізілген түзу у=2х функциясының графигі.
у=kx функциясы графигінің координаталық жазықтықтағы орналасуы к коэфицентіне тәуелді. у=kx
функциясында, егер х=1 болса у=k.
у=kx функциясының графигі –О(0;0) және (1;к) нүктелері арқылы өтетін түзу.
Егер к=0 болса, у=kx функциясының графигі I және IIIкоординаталық ширектерде, ал k= 0 болса, II және IV
координаталық ширектерде орналасады.
у=kx функциясының графигі мен у=kx+b функциясының графигі k-ның бірдей мәнінде өзара параллель
түзулер. х-тің кез келген мәні үшін у = kx+b функциясының мәні у=kx функциясының мәнінен l-ге артық.
у = kx+b функциясындағы к=0 болса, функция у=в формуласымен жазылады. у=b формуласының графигі
абциссалар осіне параллель, абциссасы 0; ординаталары b болатын түзу.
Енді екі сызықтық функция берілсе олардың графигі жоғарыдағы қасиеттерді ескерсек мынадай түрде
болатыны белгілі. Екі түзу = 1 + 1 және
= 2 + 2 берілсін:
-
Қиылысады, егер k 1 ≠ k 2
-
Параллель, егер k 1 = k 2 және b 1 ≠ b 2
-
Беттеседі, егер k 1 = k 2 және b 1 = b 2
-
Перпендикуляр, егер k 1 ∗ k 2
Мұндағы к-ны 6-сыныптың оқулығында тұрақты сан деп берілсе, 10-сыныптың оқушыларға арналған
оқулығында бұрыштық коэффициент деп беріледі. Себебі математикалық білімнің дамуымен байланысты.
Яғни оқушылар тригонометрия тарауымен танысқаннан кейін осы терминді еңгізді.
Сызықтық функцияның қасиеттері оқушыларға алгебра және анализ бастамалары курсында кездеседі.
Яғни функцияның туындысын табу және оның геометриялық мағынасы. 10-сыныпта y = f(x) функциясының
x 0
нүктесіндегі туындысы f ′ (x 0 ) осы функция графигінің x 0 , f(x 0 ) нүктесі арқылы өтетін жанамасының
бұрыштық коэффициентіне тең, яғни
f ′ (x 0 ) = tgα = k
(1)
Осы формула туындының геометриялық мағынасы екендігі түсіндіріледі. Демек, туындының геометриялық
мағынасы функцияның графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болып табылады. Бұдан біз
оқушыларға жанаманың теңдеуін қорытып шығарамыз.
y = f(x) функциясы және оның N 0 x 0, y 0 нүктесіндегі f ′ (x 0 ) туындысы берілсін. Жанама түзу болғандықтан,
жанаманың теңдеуін y = kx + b сызықтық функциясы ретінде іздейміз. Мұндағы k = tgα = f , (x 0 ), онда
y = f , (x 0 )x + b болады. Осы теңдеуге N 0 x 0 , f(x 0 ) нүктесінің координаталарын қоямыз. Сонда f(x 0 ) =
f , (x 0 )x 0 + b, осыданb = f(x 0 ) − f , (x 0 )x 0 . Соңғы теңдеуді y = f , (x 0 )x + b теңдеуіне апарып қойсақ, y = f , (x 0 )x +
f(x 0 ) − f , (x 0 )x 0 = f(x 0 ) + f , (x 0 )(x − x 0 ). Демек
y = f(x 0 ) + f , (x 0 )(x − x 0 )
Бұл жанаманың теңдеуі. [2] Яғни туындыны меңгеру үшін, оның геометриялық мағынасын түсіну үшін
сызықтық функцияның графигі мен қасиеттерін қолдану қажеттілігі байқалды.
Келесі саты сызықтық функцияны параметрі бар теңдеулер жүйесінде қолдануға болатындығын
көрсетейік. Мысалы төмендегідей есе п берілсін:
а- параметрінің барлық мәндерін табу керек.
ax − 4y = a + 1
2x + (a + 6)y = a + 3
А) шешімі жоқБ)шексіз көп шещімі бар.
Шешуі:әрбір теңдеу жазықтықта жатқан түзуді береді. Жүйенің шешімі 2 түзудің қиылысу нүктесі
болады.жүйенің жалғыз ғана шешімі болады,егерт түзулер қиылысса.жүйенің шешімі жоқ,егер түзулер
параллель болса, жане жүйеніңшексіз көп шешімі болады,егер түзулер беттесетін болса. Әрбір теңдікті
a
a+1
y = kx + b түрінде жазайық: сонда бірінші теңдік мына түрге келеді:y = x −
; Екінші теңдікті түрлендірмес
4
4
бұрын а+6= 0 жағыдайын кұрастырамыз, яғни а= −6. Сонда екінші теңдіктен:2х= −3; х= −1,5 шығады. х-тің
мәнін аламыз 1-ші теңдікке апарып қойсақ, у= −3,5 мәнін аламыз. Демек а−6 болғанда жүйенің 1 ғана шешімі
2
a+3
болады. Енді а≠ −6 , онда екінші теңдік мына түрге келеді: y = −
x+
; Қарастырып отырған түзулер
a+6
a+6
параллель немесе беттесіп орналасқан болады, егер бұрыштық коэффициенттері тең болса, яғни k 1 = k 2
a
2
немесе = −
; Теңдеуді шеше келе a 1 = −4 және a 2= − 2 мәнін аламыз. Түзулердің беттесетінін немесе
4
a+6
a+1
a+3
параллель екенін анықтау үшін b 1 = −
және b 2 =
теңдіктерінің әрқайсысын есептеп шығару қажет.
4
a+6
1.
a 1 = −4, b 1 = 0,75; b 2 = 0,5b 1 ≠ b 2 . Бұл жағдайда түзулер параллель болады. Бірақ беттеспейді.
Бұдан шығатын қорытынды жүйенің шешімі жоқ.
2.
a 1 = −2, b 1 = 0,25; b 2 = 0,25 b 1 = b 2 . Түзулер беттеседі. Системаның шексіз көп шешімі бар.
Жауабы: а) -4; б) -2
1.2. системаның шешімі жоқ болатын кездегі а – ның барлық мүмкін мәндерін тап.
a|x| + 5y = a − 2
5|x| + ay = a + 6
Шешуі: көмекші системаны |x| = tдеп белгілейміз.
at + 5y = a − 2
5t + ay = a + 6
5