Ìàòåìàòèêà
¹6 (13) 2016
Берілген есептердің шарттары бойынша тиісті функцияны құрып, оны экстремумға зерттейміз.
Берілген есепте тең бүйірлі үшбұрыштың ауданы берілген. Оны S арқылы белгілесек:
S
1
AC H
2
(1)
Мұндағы АС-тең бүйірлі үшбұрыштың табаны, ал H – биіктігі, ізделінді В бұрышының шамасы х , тең
бүйірлі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы R болсын. Сызбаға қарап, мына қатынастарды табуға
болады:
OB
R
x
sin
2
,
sin
x R
2 OB
H OB R
R
x
sin
2
R
x
x
x
1 sin sin
(1 sin )
x AK
x
1
x
2
2 R *
2
tg
, AK BK tg R
1 tg R
x
x
x
x
2 BK
2
sin
2
sin
cos
cos
2
2
2
2
x
(1 sin )
2
AC 2AK 2R
x
cos
2
АС мен H мәндерін (1) формулаға апарып қойып, мына өрнекті аламыз
x
1 sin
1
1
2 R
S 2 R
1
x
x
2
s i n
cos
2
2
Осы өрнекті ықшамдасақ,
S R 2 (1 sinx / 2) / ( cosx / 2) (1 sinx / 2) / ( sinx / 2) ( R 2 (1 sinx / 2) 2 ) / ( cosx / 2 sinx / 2)
x
x
S cos sin
S sinx
2
2
R 2
2
2
бұдан
x
x
2 1 sin
1 sin
2
2
Сонда есептің шартындағы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы мына функция арқылы
өрнектеледі:
R
S
sinx
x
2
1 sin 2
Енді осы функцияны максимумға зерттеуіміз керек. Ол үшін осы функцияның туындысын табамыз.
cosx
x 1
x
1 sin cos
sinx
S 2 sinx
2 2
2
R
2
2
x
1
sin
2
Сындық нүктелерді табу үшін осы туындыны нольге теңестіреміз.
R 1 0
cosx
x 1
x
sinx 0
1 sin cos
2 2
2
2 sinx
Ортақ бөлімге келтірсек, онда
x
x
cosx 1 sin cos sinx
2
2
0
2 sinx
Осы теңдеудің алымын нольге теңестіреміз:
14