¹ 6( 13) 2016 Ìàòåìàòèêà
Төмендегідей белгілеулер енгізейік: X( t) CY −1( t) = H( C, t) = �h ij( C, t) �,
Y( t) C −1 X −1( t) = H −1( C, t) = �h � ij( C, t) �, i, j = 1 �����, n,
i, j = 1 �����, n
T = { C | detC ≠ 0 }, Γ = { C | detC ≠ 1 } ⊂ T. Матрицаның сипаттамалық көрсеткіштерінің қасиеті бойынша кез келген A( t) және B( t) матрицалары үшін χ̅ [ A( t) ∙ B( t)] ≤ χ̅ [ A( t)] + χ̅ [ B( t)]
Біздің жағдайда, егер A( t) = H( C, t), B( t) = H −1( C, t) деп алсақ χ̅ [ H( C, t) ∙ H −1( C, t)] = χ̅ [ I n ] = 0 яғни χ̅ [ H( C, t)] + χ̅ [ H −1( C, t)] ≥ 0.
Екінші жағынан, Ляпуновтың жалпыланған матрицасының анықтамасынан χ̅ [ H( C, t)] ≤ 0, χ̅ [ H −1( C, t)] ≤ 0 сондықтан χ̅ [ H( C, t)] = χ̅ [ H −1( C, t)] = 0
Сонымен,( 1) және( 2) жүйелер жалпыланған асимптотикалық болуы үшін
χ̅ [ H( C, t)] = ����� lim 1 ln ‖ H( C, t)‖ = 0 t→∞ t χ̅ [ H −1( C, t)] = ����� lim 1 t→∞ t ln ‖ H−1( C, t)‖ = 0 орындалатындай C ∈ Γ матрицасының табылуы қажетті және жеткілікті.
Төмендегі функционалдарды анықтайық
λ( P, Q) = inf max { χ̅ [ H( C, t)], χ̅ [ H −1( C, t)]},
C�Г
μ( P, Q) = inf max �χ̅ � C�Г max �h ij( C, t) ��, χ̅ � max �h� ij( C, t) ���, i, j
λ( P, Q) ≥ 0, μ( P, Q) ≥ 0 екенін ескерте кетейік. Ляпунов көрсеткіштерінің қасиеттерінен кез келген α( t), β( t) функциялары үшін χ̅ [ α( t) + β( t)] ≤ max { χ̅ [ α( t)], χ̅ [ β( t)]} орындалатындығы шығады, сонымен бірге, егер барлық t үшін α( t) ∙ β( t) > 0 болса, онда тек теңдік таңбасы ғана орындалады. Біздің жағдайда α( t) = H( C, t), β( t) = H −1( C, t) болғандықтан бұл шарт орындалады, сондықтан max { χ̅ [ H( C, t)], χ̅ [ H −1( C, t)]} = max { χ̅ [‖ H( C, t)‖], χ̅ [‖ H −1( C, t)‖]} = = χ̅ [‖ H( C, t)‖ + ‖ H −1( C, t)‖] Егер 0 < α( t) ≤ β( t) болса, онда χ̅ [ α( t)] ≤ χ̅ [ β( t)]. Сондықтан
Сонда λ( P, Q) = χ̅ �inf(‖ H( C, t)‖ + ‖ H −1( C, t)‖) � =
C�Г
inf max { χ̅ [ H( C, t)], χ̅ [ H −1( C, t)]} =
C�Г C�Г i, j
inf χ̅ [‖ H( C, t)‖ + ‖ H −1( C, t)‖].
C�Г
inf χ̅ [‖ H( C, t)‖ + ‖ H −1( C, t)‖] = χ̅ �inf(‖ H( C, t)‖ + ‖ H −1( C, t)‖) �.
C�Г μ( P, Q) = inf max �χ̅ �
C�Г max �h i, j( C, t) ��, χ̅ � max �h� ij( C, t) ��� = = i, j i, j inf χ̅ �
C�à max �h ij( C, t) � + i, j max �h� ij( C, t) �� = i, j
10
= χ̅ �
C�à inf � max �h ij( C, t) � + i, j max �h� ij( C, t) ���, i, j = 1 �����, n i, j
Теорема 2.( 1) және( 2) теңдеулер жүйелері жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болу үшін λ( P, Q) = 0 болуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі.( 1) және( 2) теңдеулер жүйелері жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болсын, сонда x = L( t) y жалпыланған Ляпунов түрлендіруі( 1) теңдеулер жүйесін( 2) теңдеулер жүйесіне көшіреді. Егер X( t) және Y( t) сәйкес( 1) және( 2) теңдеулердің базистік шешімдері болса, онда C� ерекше емес тұрақты матрица табылып L( t) матрицасы
L( t) = X( t) C�Y −1( t) = H( C�, t) түрінде жазылады. H( C�, t) жалпыланған Ляпунов матрицасы болғандықтан χ̅�H�C�, t�� = χ̅�H −1 �C�, t�� = 0.
Сонда max�χ̅�H�C�, t��, χ̅�H −1 �C�, t��� = 0.
Демек inf max�χ̅�H�C�, t��, χ̅�H −1 �C�, t��� = λ( P, Q) = 0.
C�Г