¹ 6 ( 13 ) 2016 Ìàòåìàòèêà
Төмендегідей белгілеулер енгізейік : X ( t ) CY −1 ( t ) = H ( C , t ) = �h ij ( C , t ) � ,
Y ( t ) C −1 X −1 ( t ) = H −1 ( C , t ) = �h � ij ( C , t ) � , i , j = 1 ����� , n,
i , j = 1 ����� , n
T = { C | detC ≠ 0 }, Γ = { C | detC ≠ 1 } ⊂ T . Матрицаның сипаттамалық көрсеткіштерінің қасиеті бойынша кез келген A ( t ) және B ( t ) матрицалары үшін χ̅ [ A ( t ) ∙ B ( t )] ≤ χ̅ [ A ( t )] + χ̅ [ B ( t )]
Біздің жағдайда , егер A ( t ) = H ( C , t ), B ( t ) = H −1 ( C , t ) деп алсақ χ̅ [ H ( C , t ) ∙ H −1 ( C , t )] = χ̅ [ I n ] = 0 яғни χ̅ [ H ( C , t )] + χ̅ [ H −1 ( C , t )] ≥ 0 .
Екінші жағынан , Ляпуновтың жалпыланған матрицасының анықтамасынан χ̅ [ H ( C , t )] ≤ 0 , χ̅ [ H −1 ( C , t )] ≤ 0 сондықтан χ̅ [ H ( C , t )] = χ̅ [ H −1 ( C , t )] = 0
Сонымен , ( 1 ) және ( 2 ) жүйелер жалпыланған асимптотикалық болуы үшін
χ̅ [ H ( C , t )] = ����� lim 1 ln ‖ H ( C , t )‖ = 0 t→∞ t χ̅ [ H −1 ( C , t )] = ����� lim 1 t→∞ t ln ‖ H−1 ( C , t )‖ = 0 орындалатындай C ∈ Γ матрицасының табылуы қажетті және жеткілікті .
Төмендегі функционалдарды анықтайық
λ ( P , Q ) = inf max { χ̅ [ H ( C , t )], χ̅ [ H −1 ( C , t )]},
C�Г
μ ( P , Q ) = inf max �χ̅ � C�Г max �h ij ( C , t ) �� , χ̅ � max �h� ij ( C , t ) ��� , i , j
λ ( P , Q ) ≥ 0 , μ ( P , Q ) ≥ 0 екенін ескерте кетейік . Ляпунов көрсеткіштерінің қасиеттерінен кез келген α ( t ), β ( t ) функциялары үшін χ̅ [ α ( t ) + β ( t )] ≤ max { χ̅ [ α ( t )], χ̅ [ β ( t )]} орындалатындығы шығады , сонымен бірге , егер барлық t үшін α ( t ) ∙ β ( t ) > 0 болса , онда тек теңдік таңбасы ғана орындалады . Біздің жағдайда α ( t ) = H ( C , t ), β ( t ) = H −1 ( C , t ) болғандықтан бұл шарт орындалады , сондықтан max { χ̅ [ H ( C , t )], χ̅ [ H −1 ( C , t )]} = max { χ̅ [‖ H ( C , t )‖], χ̅ [‖ H −1 ( C , t )‖]} = = χ̅ [‖ H ( C , t )‖ + ‖ H −1 ( C , t )‖] Егер 0 < α ( t ) ≤ β ( t ) болса , онда χ̅ [ α ( t )] ≤ χ̅ [ β ( t )]. Сондықтан
Сонда λ ( P , Q ) = χ̅ �inf (‖ H ( C , t )‖ + ‖ H −1 ( C , t )‖) � =
C�Г
inf max { χ̅ [ H ( C , t )], χ̅ [ H −1 ( C , t )]} =
C�Г C�Г i , j
inf χ̅ [‖ H ( C , t )‖ + ‖ H −1 ( C , t )‖].
C�Г
inf χ̅ [‖ H ( C , t )‖ + ‖ H −1 ( C , t )‖] = χ̅ �inf (‖ H ( C , t )‖ + ‖ H −1 ( C , t )‖) � .
C�Г μ ( P , Q ) = inf max �χ̅ �
C�Г max �h i , j ( C , t ) �� , χ̅ � max �h� ij ( C , t ) ��� = = i , j i , j inf χ̅ �
C�à max �h ij ( C , t ) � + i , j max �h� ij ( C , t ) �� = i , j
10
= χ̅ �
C�à inf � max �h ij ( C , t ) � + i , j max �h� ij ( C , t ) ��� , i , j = 1 ����� , n i , j
Теорема 2 . ( 1 ) және ( 2 ) теңдеулер жүйелері жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болу үшін λ ( P , Q ) = 0 болуы қажетті және жеткілікті . Дәлелдеуі . ( 1 ) және ( 2 ) теңдеулер жүйелері жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болсын , сонда x = L ( t ) y жалпыланған Ляпунов түрлендіруі ( 1 ) теңдеулер жүйесін ( 2 ) теңдеулер жүйесіне көшіреді . Егер X ( t ) және Y ( t ) сәйкес ( 1 ) және ( 2 ) теңдеулердің базистік шешімдері болса , онда C� ерекше емес тұрақты матрица табылып L ( t ) матрицасы
L ( t ) = X ( t ) C�Y −1 ( t ) = H ( C� , t ) түрінде жазылады . H ( C� , t ) жалпыланған Ляпунов матрицасы болғандықтан χ̅�H�C� , t�� = χ̅�H −1 �C� , t�� = 0 .
Сонда max�χ̅�H�C� , t�� , χ̅�H −1 �C� , t��� = 0 .
Демек inf max�χ̅�H�C� , t�� , χ̅�H −1 �C� , t��� = λ ( P , Q ) = 0 .
C�Г