EURASIAN EDUCATION №6 2016 | Page 13

Ìàòåìàòèêà
¹6 (13) 2016
Жеткіліктілігі: Айталық, ( , ) = 0 болсын, яғни
−1 (
max{ ̅[ ( , )], ̅[
inf
, )]} = 0.
C Г
Онда төменгі шекара қабылданатындай ∈ Г тұрақты ерекше емес матрица табылады, яғни
max
, , ̅ −1 ,
= 0.
Демек, = ∈ Г матрицасы үшін ( , ) матрицасы жалпыланған Ляпунов матрицасы болады. Сонда
( , ) түрлендіруі (2) жүйені (1) жүйеге көшіреді. Теорема дәлелденді.
Салдар. (1) және (2) теңдеулер жүйелері жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болу үшін
( , )=0
болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. (1) және (2) теңдеулер жүйесі жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болсын. Сонда
̅[ ( ∗ , )] = 0,
̅[ −1 ( ∗ , )] = 0
болатындай ∗ ∈ Г матрицасы бар болады.
Бұдан шығатыны
max
inf

max
C Г
max
∗ ,
ℎ , (
i, j
=0
max
ℎ , (
i, j
max
∗ ,
ℎ , (
i, j
max
ℎ , ( , ) ,
i, j
max
)
∗ ,
ℎ , (
i, j
)
=0
ℎ , ( , )
i, j
max
) ,
∗ ,
=
≤
) = 0.
ℎ , ( ′ , ) = 0.
Керісінше, егер ( , ) = 0 болса, онда ′ ∈ Г матрицасы табылып
max
max
i, j
max
ℎ , ( ′ , ) ,
i, j
болады.
max
ℎ ( , )
max
≤ ‖ ( , )‖ ≤
i, j
1
max
ℎ ( , )
i, j
ℎ ( , )
≤‖
−1 (
, )‖ ≤
1
i, j
max
ℎ ( , )
i, j
∈ ′ ∈ Г матрицасы үшін алатынымыз
[ ( ′ , )] = ̅ [ ( ′ , )] = 0
( , 1 , , 1 матрицалық норманы таңдап алуға тәуелді оң сандар).
Демек, = ( ′ , ) жалпыланаған Ляпунов түрлендіруі (2) теңдеулер жүйесін (1) теңдеулер жүйесіне
көшіреді, яғни олар жалпыланған асимптотикалық эквивалентті.
теңсіздіктер негізінде
Анықтама. Егер ( ) матрицасы қандай да бір бекітілген
( )∙
( )
мәні үшін
( )
=
0
0
∙ ( )
0
теңдігін қанағаттандыратын болса, (1) жүйе Лаппо-Данилевский жүйесі деп аталады.
Егер (1) және (2) жүйелер Лаппо-Данилевский жүйелері болса, онда жалпыланған асимптотикалық
эквиваленттіліктің критерийі төмендегідей жазылады: [2]
( , )=
inf
max
( )
exp
C Г
∙
∙
( )
∙
−1
( )
∙ −
0
,
0
( )
∙ exp −
0
= 0.
0
Жалпыланған асимптотикалық эквивалентті жүйенің мысалын келтірейік.
Бізге екі өлшемді сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері берілсін:
=
, ∈ 2
(3)
мұндағы ,
=
,
∈ 2
−тұрақты матрицалар.
(4)
1 0
1 0
,
=
.
0 1
1 1
Бұл жүйелер асимптотикалық эквивалентті емес. Берілген жүйелердің базистік шешімдерін тауып,
( ) −1 ( ) және ( ) −1 −1 ( )
көбейтінділерін есептейміз.
( ) −1 ( ) = ( , ), ал ( ) −1 −1 ( ) = −1 ( , ).
=
( , )=
11
11
+
12
21
12
+ 12
−1 ( , ) =
− 21 − 11
22
+
−
22
12
11
,
.
Кез келген , үшін
[ℎ ( , )] = 0,
[ℎ ( , ) = 0,
болғандықтан [ ( , )] = 0,
эквивалентті.
[
−1 (
, = 1,2
, = 1,2,
, )] = 0. Демек, (3) және (4) жүйелер жалпыланған асимптотикалық
11