Ìàòåìàòèêà
¹6 (13) 2016
Мақалада біртектес сызықтық дифференциалдық
жүйелердің жалпыланған асимптотикалық эквивалентті
болу белгілері келтірілген.
В статье приведены признаки обобщенной
асимптотической эквивалентности однородных
линейных дифференциальных систем.
The article presents the signs of generalized asymptotic
equivalence of homogeneous linear differential systems.
КУДАЙБЕРГЕНОВА КЫМБАТ
СОВЕТКАНОВНА
“Семей" медициналық колледжінің математика
пәні мұғалімі, Семей қаласының Шәкәрім
атындағы мемлекеттік
университетінің магистранты
ЖАЛПЫЛАНҒАН АСИМПТОТИКАЛЫҚ ЭКВИВАЛЕНТТІ
СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЖҮЙЕЛЕР ЖАЙЛЫ
Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелерін қарастырайық:
= ( ) ,
∈
(1)
= ( ) ,
∈
(2)
мұндағы ( ), ( ) -ретті квадрат матрицалар, бұл матрицалардың элементтері ≥
мәндері үшін үзік-үздіксіз болатын функциялар.
Анықтама. ( ) және оған кері
−1
0 , 0
∈ [0; +∞)
( ) матрицаларының сипаттамалық көрсеткіштері оң емес болса, яғни
1
[ ( )] = lim ln ∥ ( ) ∥≤ 0,
→∞
1
[ −1 ( )] = lim ln ∥ −1 ( ) ∥≤ 0
→∞
онда ( ) матрицасы Ляпуновтың жалпыланған матрицасы деп аталады. [3]
Анықтама. Егер ( ) матрицасы жалпыланған Ляпунов матрицасы болса, онда
жалпыланған Ляпунов түрлендіруі деп аталады. [1]
= ( ) түрлендіруі
Анықтама: Егер (1) жүйеден (2) жүйеге Ляпуновтың жалпыланған түрлендіруі арқылы көшу мүмкін болса,
онда олар жалпыланған асимптотикалық эквивалентті деп аталады. [4]
Айталық, ( ), ( ) матрицалары (1) және (2) жүйелердің базистік шешімдері болсын.
Теорема 1. (1) және (2) жүйелер жалпыланған асимптотикалық эквививалентті болуы үшін
[ ( ) −1 ( )] ≤ 0, ̅[ ( ) −1 ( ) −1 ( )] ≤ 0
болатындай ерекше емес тұрақты матрицасының бар болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілігі. (1) және (2) жүйелер жалпыланған асимптотикалық эквивалентті болғандықтан
(2) жүйенің кез келген ( ) базистік шешімі үшін
∗ ( )
= ( ) ( )
орындалатындай Ляпуновтың жалпыланған түрлендіруі бар болады, мұндағы ∗ ( ) матрицасы (1) жүйенің
базистік шешімі, ( ) − Ляпуновтың жалпыланған түрлендіруінің матрицасы. (1) жүйенің кез келген базистік
шешімі үшін ерекше емес 0 − тұрақты матрицасы табылып
( ) = ∗ ( ) 0
теңдігі орындалады.
Сондықтан
( ) 0−1 = ( ) ( )
−1
немесе 0 = деп белгілесек, онда
( ) = ( ) 0−1 −1 ( ) , ( ) = ( ) −1 ( ).
Демек,
̅[ ( ) −1 ( )] ≤ 0,
[ ( ) −1 −1 ( )] ≤ 0
болатындай тұрақты ерекше емес матрицасы бар болады.
Жеткіліктілігі. ̅ [ ( ) −1 ( )] ≤ 0, ̅ [ ( ) −1 −1 ( )] ≤ 0 болатындай тұрақты матрицасы бар болсын,
≠ 0 және ( ) = ( ) −1 ( ) десек, = ( ) − Ляпуновтың жалпыланған түрлендіруі (1) жүйені (2)-ші
жүйеге көшіреді, яғни бұл екі жүйе жалпыланған асимптотикалық эквивалентті. Теорема дәлелденді.
( )
( )=
( , )= ℎ ( , ) ,
, = 1, ,
9