¹3-4 (17) 2017
sin
1
= sin
→
=
1
× sin
= 2 sin
sin
=2
Ìàòåìàòèêà
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними [3]:
2 = 2 + 2 −2
cos
Дано: ∆АВС, АВ=с, ВС=а, СА=b.
Доказать:
2
=
2
+
2
− 2 cos
Доказательство:
Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С (bcosA; bsinA).
По формуле расстояния между двумя точками
2 = (
2
2
2 − 1 ) + ( 2 − 1 )
получаем:
2 = 2 = ( cos
− ) 2 + ( sin − 0) 2 ,
2 = 2 cos 2
− 2 cos + 2 + 2 sin 2 ,
2 = 2 × (cos 2
+ sin 2 ) + 2 − 2 cos → 2 = 2 + 2 − 2 cos
Обобщенная теорема Пифагора. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора.
Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора
[4, 112-114c.].
В самом деле, если в ∆АВС ∟А – прямой, то:
cos = cos 90° = 0 и по 2 = 2 + 2 − 2 cos
получаем:
2 = 2 + 2
т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.
Задача №1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними [5, 84-85c.].
Дано: a=7см, b=23cм, ∟C=130°.
Найти: с, ∟А, ∟В.
Решение:
1) 2 = 2 + 2 − 2 cos
= √49 + 529 − 2 × 7 × 23 × cos 130° =
2) cos
=
49 + 529 − 2 × 7 × 23 × (−0,643) = 28
2 + 2 − 2
2
529+784−49
cos = 2×23×28 = 0,981 → ∟А=11°
3) ∠ = 180° − (∠ + ∠ ) = 180° − (11° + 130°) = 39°
Ответ: c=28, ∟А=11°, ∟B=39°.
Задача №2. Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Дано: а=20см, ∟А=75°, ∟В=60°
Найти: ∟C, b, c.
Решение:
1) ∟C=180°-(60°+75°) = 45°
sin
2) sin = sin = sin → = × sin
3)
=
sin
× sin
0,7
= 20 × 0,966 = 14,6
Ответ: ∟C=45°, b=17,9см, c=14,6см.
6
0,866
= 20 × 0,966 = 17,9