Ìàòåìàòèêà
¹ 3-4 ( 17 ) 2017
Теорема о площади треугольника . Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними [ 2 , 256-261c .]:
S = 1 ab sin C
2 Дано : ∆ АВС , АВ = с , ВС = a , СА = b , h – высота
Доказать : S = 1 ab sin C
2
Доказательство :
Введём систему координат с началом в точке С так , чтобы точка В лежала на положительной полуоси C x , а точка А имела положительную ординату . Площадь данного треугольника можно вычислить по
формуле S = 1 ah , где h – высота треугольника . Но h равна ординате точки А , т . е .:
2 h = b sin C �т . к . sin C = h 1 � → S = ab sin C b 2
Теорема синусов . Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов : a
sin A = b sin B = c sin C
Дано : ∆АВС , АВ = с , ВС = а , СА = b .
Доказать : a sin A = b sin B = c sin C Доказательство : По теореме о площади треугольника : S = 1
1 ab sin C , S = 2 2 получаем :
1 1 ab sin C = 2 2
1 a bc sin A , ba sin C = c sin A , sin A sin C =
2 sin A
Точно также из второго и третьего равенства получаем :
1 1
1 b bc sin A = ac sin B , cb sin A = a sin B , sin A sin B =
2 2 2 sin B
Так как :
a = c и b = sin A sin C sin B
1 bc sin A , S = ac sin B . Из первых двух равенств
2 то : a sin A = b sin B = c sin C
Замечание : Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности : a
sin A = b sin B = c sin C = 2R
Дано : R – радиус описанной окружности , ВС = a , BA 1 – диаметр . Доказать : a sin A
BC = 2R ( BC = 2R sin A ) sin A
Доказательство : Проведем диаметр BA 1 . Рассмотрим ∆A 1 BC , ∟С - прямоугольный => BC = BA 1 × sin A 1 . Если т . A 1 лежит на дуге ВАС , то ∟A 1 = ∟А , если на дуге BDC , то ∟A 1 = 180 ° - ∟A . И в том , и в другом случае :
sin A 1 = sin A → BC = BA 1 × sin A , BC = 2R sin A или BC sin A = 2R . c
sin C a
sin A
5