Ìàòåìàòèêà
¹ 3-4( 17) 2017
Теорема о площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними [ 2, 256-261c.]:
S = 1 ab sin C
2 Дано: ∆ АВС, АВ = с, ВС = a, СА = b, h – высота
Доказать: S = 1 ab sin C
2
Доказательство:
Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси C x, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по
формуле S = 1 ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е.:
2 h = b sin C �т. к. sin C = h 1 � → S = ab sin C b 2
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a
sin A = b sin B = c sin C
Дано: ∆АВС, АВ = с, ВС = а, СА = b.
Доказать: a sin A = b sin B = c sin C Доказательство: По теореме о площади треугольника: S = 1
1 ab sin C, S = 2 2 получаем:
1 1 ab sin C = 2 2
1 a bc sin A, ba sin C = c sin A, sin A sin C =
2 sin A
Точно также из второго и третьего равенства получаем:
1 1
1 b bc sin A = ac sin B, cb sin A = a sin B, sin A sin B =
2 2 2 sin B
Так как:
a = c и b = sin A sin C sin B
1 bc sin A, S = ac sin B. Из первых двух равенств
2 то: a sin A = b sin B = c sin C
Замечание: Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: a
sin A = b sin B = c sin C = 2R
Дано: R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA 1 – диаметр. Доказать: a sin A
BC = 2R( BC = 2R sin A) sin A
Доказательство: Проведем диаметр BA 1. Рассмотрим ∆A 1 BC, ∟С- прямоугольный => BC = BA 1 × sin A 1. Если т. A 1 лежит на дуге ВАС, то ∟A 1 = ∟А, если на дуге BDC, то ∟A 1 = 180 °- ∟A. И в том, и в другом случае:
sin A 1 = sin A → BC = BA 1 × sin A, BC = 2R sin A или BC sin A = 2R. c
sin C a
sin A
5