EURASIAN EDUCATION №3-4 2017 | Page 12

Ìàòåìàòèêà
¹3-4 (17) 2017
Формула 2. Доказать, что: sin(arccos ) = √1 − 2
Доказательство:
Зная, что cos(arccos ) = , получаем:
sin(arccos ) = 1 − cos 2 (arccos ) = √1 −
Формула 3. Доказать, что: tg(arccos x) =
Доказательство:
Зная, что tg(arctg ) = , получаем:
tg(arccos x) =
2
(Ф.2 - доказана).
2
√1−
sin (arccos )
cos (arccos )
=
sin (arcsin √1−
2 )
=
2
√1−
(Ф.3 - доказана).
1
Формула 4. Доказать, что: tg(arcctg x) =
Доказательство:
Зная, что ctg(arcctg ) = , получаем:
1
tg(arcctg x) = ctg x(arcctg
1
x)
= (Ф.4 - доказана).
Теперь, необходимо перейти от теоретической части к практической, где приведены несколько примеров
между собой отличающиеся по уровню сложности, которые необходимо решить [4, 158-192 с]:
Пример №1. (Необходимо упростить выражение).
5
√3
π + arctg −
=π− =
3
6
6
Ответ: π + arctg −
√3
3
=
5
6
Пример №2. (Необходимо упростить выражение).
1
1
1
1
√3 1
arctg
− arcsin − = × + × =
2
3
2
2
2 6 2 6 6
1
1
1
√3
Ответ: 2 arctg 3 − 2 arcsin − 2 = 6
12
Пример №3. (Необходимо упростить выражение).
12
√3
√3
arccos −
+ arcsin −
+ arctg −√3 =
− − −
=2
2
2
6 3 3
Ответ:
12
arccos −
√3
2
+ arcsin −
√3
2
+ arctg −√3
=2
Пример №4. (Необходимо упростить выражение).
1
2
√3
arccos − + arcsin
= − − = −
=
2
2
3 3
3
3
1
√3
Ответ: arccos − 2 + arcsin 2 = 3
Пример №5. (В данной задаче применяется формула:
cos arcsin −
1
3
= cos arccos 1 − −
1
Ответ: cos arcsin − 3
=
1
3
(
2 ).
) = √1 −
2
= cos arccos 1 − −
1
3
2
== cos arccos
8
2√2
=
9
3
2√2
3
(2 − ) =
Пример №6. (В данной задаче применяется формула приведения:
3
5
√2
ctg 2 − 3 arcsin
= ctg 2 −
= ctg
= ctg
+
= ctg = 1
2
4
4
4
4
).
√2
Ответ: ctg
ctg 2 2 −
− 3 3 arcsin
arcsin √2 = = 1 1
2
2
Пример №7. (В данной задаче применяется формула:
cos(arctg(−2)) =
1
1+
(−2) 2
=
1
√1 + 4
=
1
√5
=
1
√5
×
√5
√5
=
(
)=
1
√1+
2
).
√5
5
√5
Ответ: cos(arctg(−2)) = 5
Пример №8. (В данной задаче применяются формулы:
sin 2 arccos
10
3
3
3
= 2 sin arccos cos arccos
== 2
5
5
5
= 2 sin arcsin 1 −
9
cos arccos
2 =2
arcsin 1 −
3
=2×
4
×
3
и
3
5
=
2
24
arccos
= 0,96
(
3
=
5
) = √1 −
2 ).