EURASIAN EDUCATION №3-4 2017 | Page 11

Ìàòåìàòèêà

Рис . 1 : Графики обратных тригонометрических функций :

I . Важные свойства Арксинуса : y = arcsin x 1 . y = arcsin x – непрерывна и ограничена ; 2 . D ( arcsin x ) = [ −1 ; 1 ] ( область определения ); 3 . E ( arcsin x ) = [ − π ; π ] ( множество значений );

2 2

4 . arcsin ( −x ) = − arcsin x ( нечетная функция ); 5 . 1 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ −1 → arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 – строго возрастающая ; 6 . y наиб = y ( 1 ) = π ; y 2 наим = y ( −1 ) = − π ; 2

7 . График функции указан выше ( Рис . 1 ).

II . Важные свойства Арккосинуса : y = arccos x 1 . y = arccos x – непрерывна и ограничена ; 2 . D ( arccos x ) = [ −1 ; 1 ] ( область определения ); 3 . E ( arccos x ) = [ 0 ; π ] ( множество значений ); 4 . arccos ( −x ) = π − arccos x ( центральносимметричен относительно точки ); 5 . 1 ≥ x 1 > x 2 ≥ −1 → arccos x 1 < arccos x 2 – строго убывающая ; 6 . y наиб = y ( −1 ) = π ; y наим = y ( 1 ) = 0 . 7 . График функции указан выше ( Рис . 1 ).

III . Важные свойства Арктангенса : y = arctg x 1 . y = arctg x – непрерывна и ограничена ; 2 . D ( arctg x ) = [ −∞ ; ∞ ] ( область определения ); 3 . E ( arctg x ) = ( − π ; π ) ( множество значений );

2 2

4 . arctg ( −x ) = − arctg x ( нечетная функция ); 5 . x 1 > x 2 → arctg x 1 > arctg x 2 – строго возрастающая ; 6 . Наибольшего и наименьшего значения нет . 7 . График функции указан выше ( Рис . 1 ).

IV . Важные свойства Арккотангенса : y = arcctg x 1 . y = arcctg x – непрерывна и ограничена ; 2 . D ( arcctg x ) = [ −∞ ; ∞ ] ( область определения ); 3 . E ( arcctg x ) = ( 0 ; π ) ( множество значений ); 4 . arcctg ( −x ) = π − arcctg x ( центрально-симметричен относительно точки ); 5 . x 1 > x 2 → arcctg x 1 < arcctg x 2 – строго убывающая ; 6 . Наибольшего и наименьшего значения нет . 7 . График функции указан выше ( Рис . 1 ).

Некоторые значения обратных тригонометрических функций необходимых при построении аркфункций и решении задач на аркфункции :

α 0

arcsin α 0

arc cos α 1

arctg α 0 π 6

1 2

√3 2

√3 3 π 4

√2 2

√2 2

arcctg α - √3 1 π 3

√3 2 1 2 π 2 π

3π 2

2π

1 0 -1 0

0 -1 0 1

1 √3 - 0 - 0

√3 3

0 - 0 -

¹ 3-4 ( 17 ) 2017

Четность и нечетность аркфункций : 1 . arccos ( −x ) = π − arccos x 2 . arcsin ( −x ) = − arcsin x 3 . arctg ( −x ) = −arctg x 4 . arcctg ( −x ) = π − arcctg x

При решении задач по тригонометрии необходимо знать свойства и графики обратных тригонометрических функций , и немало важную роль при решении задач занимают знания и применение формул аркфункций , которые будут указаны ниже [ 3 , 286-406 с ]:

Свойства суммы арксинуса и арккосинуса , арктангенса и арккотангенса :

1 . arcsin x + arccos x = π 2

8 . ctg ( arctg x ) = 1 x Формулы обратных тригонометрических функций :

9 . = arcsin ± arctg x = �± 1 arccos √1 − x 2 = ± arctg � 1

10 . x −2 −1 x −2 −1

arccos x = ± arcsin �1 − x 2 arctg �x = arccos � x = ± arcsin −2 − 1 π − arctg �x −2 − 1

Приведем доказательство формул , некоторых обратных тригонометрических функций : Формула 1 . Доказать , что : arcsin x + arccos x = π 2

Доказательство : Выразим правую и левую стороны через синус функцию ( sin π 2 = 1 ):

sin ( arcsin x + arccos x ) = sin π 2

Тогда получаем следующее значение которое необходимо решить через фомулу sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β : sin ( arcsin x + arccos x ) = sin ( arcsin x ) cos ( arccos x )

+ cos ( arcsin x ) sin ( arccos x ) = sin π 2 Нам известно , что sin π , sin ( arcsin x ) = x

2 cos ( arccos x ) = x , тогда зная формулы sin ( arccos x ) =

√1 − x 2 и cos ( arcsin x ) = √1 − x 2 : x 2 + cos ( arcsin x ) sin ( arccos x )

= x 2 + cos �arccos �1 − x 2 � sin �arcsin �1 − x 2 � =

= x 2 + ��1 − x 2 � 2 = x 2 + 1 − x 2 = 1 arcsin x + arccos x = π ( Ф . 1 - доказана ).

2

9