Ìàòåìàòèêà
Рис. 1: Графики обратных тригонометрических функций:
I. Важные свойства Арксинуса: y = arcsin x 1. y = arcsin x – непрерывна и ограничена; 2. D( arcsin x) = [ −1; 1 ]( область определения); 3. E( arcsin x) = [ − π; π ]( множество значений);
2 2
4. arcsin( −x) = − arcsin x( нечетная функция); 5. 1 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ −1 → arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 – строго возрастающая; 6. y наиб = y( 1) = π; y 2 наим = y( −1) = − π; 2
7. График функции указан выше( Рис. 1).
II. Важные свойства Арккосинуса: y = arccos x 1. y = arccos x – непрерывна и ограничена; 2. D( arccos x) = [ −1; 1 ]( область определения); 3. E( arccos x) = [ 0; π ]( множество значений); 4. arccos( −x) = π − arccos x( центральносимметричен относительно точки); 5. 1 ≥ x 1 > x 2 ≥ −1 → arccos x 1 < arccos x 2 – строго убывающая; 6. y наиб = y( −1) = π; y наим = y( 1) = 0. 7. График функции указан выше( Рис. 1).
III. Важные свойства Арктангенса: y = arctg x 1. y = arctg x – непрерывна и ограничена; 2. D( arctg x) = [ −∞; ∞ ]( область определения); 3. E( arctg x) =( − π; π)( множество значений);
2 2
4. arctg( −x) = − arctg x( нечетная функция); 5. x 1 > x 2 → arctg x 1 > arctg x 2 – строго возрастающая; 6. Наибольшего и наименьшего значения нет. 7. График функции указан выше( Рис. 1).
IV. Важные свойства Арккотангенса: y = arcctg x 1. y = arcctg x – непрерывна и ограничена; 2. D( arcctg x) = [ −∞; ∞ ]( область определения); 3. E( arcctg x) =( 0; π)( множество значений); 4. arcctg( −x) = π − arcctg x( центрально-симметричен относительно точки); 5. x 1 > x 2 → arcctg x 1 < arcctg x 2 – строго убывающая; 6. Наибольшего и наименьшего значения нет. 7. График функции указан выше( Рис. 1).
Некоторые значения обратных тригонометрических функций необходимых при построении аркфункций и решении задач на аркфункции:
α 0
arcsin α 0
arc cos α 1
arctg α 0 π 6
1 2
√3 2
√3 3 π 4
√2 2
√2 2
arcctg α- √3 1 π 3
√3 2 1 2 π 2 π
3π 2
2π
1 0-1 0
0-1 0 1
1 √3- 0- 0
√3 3
0- 0-
¹ 3-4( 17) 2017
Четность и нечетность аркфункций: 1. arccos( −x) = π − arccos x 2. arcsin( −x) = − arcsin x 3. arctg( −x) = −arctg x 4. arcctg( −x) = π − arcctg x
При решении задач по тригонометрии необходимо знать свойства и графики обратных тригонометрических функций, и немало важную роль при решении задач занимают знания и применение формул аркфункций, которые будут указаны ниже [ 3, 286-406 с ]:
Свойства суммы арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса:
1. arcsin x + arccos x = π 2
2. |
arctg x + arcctg x = π 2 |
Основные формулы обратных тригонометрических |
функций: |
1. |
sin( arcsin x) = x |
2. |
cos( arccos x) = x |
3. |
tg( arctg x) = x |
4. |
ctg( arcctg x) = x |
5. |
sin( arccos x) = √1 − x 2 |
6. |
cos( arcsin x) = √1 − x 2 |
7. |
tg( arcctg x) = 1 x |
8. ctg( arctg x) = 1 x Формулы обратных тригонометрических функций:
1. |
sin( arctg x) = x
√1 + x 2
|
2. |
sin( arcctg x) = 1
√1 + x 2
|
3. |
cos( arctg x) = 1
√1 + x 2
|
4. |
cos( arcctg x) = x
√1 + x 2
|
5. |
tg( arcsin x) = x
√1−x 2
|
6. |
tg( arccos x) = √1−x 2 x |
7. |
ctg( arcsin x) = √1−x 2 x |
8. |
ctg( arccos x) = x
√1−x 2
|
9. = arcsin ± arctg x = �± 1 arccos √1 − x 2 = ± arctg � 1
10. x −2 −1 x −2 −1
arccos x = ± arcsin �1 − x 2 arctg �x = arccos � x = ± arcsin −2 − 1 π − arctg �x −2 − 1
Приведем доказательство формул, некоторых обратных тригонометрических функций: Формула 1. Доказать, что: arcsin x + arccos x = π 2
Доказательство: Выразим правую и левую стороны через синус функцию( sin π 2 = 1):
sin( arcsin x + arccos x) = sin π 2
Тогда получаем следующее значение которое необходимо решить через фомулу sin( α + β) = sin α cos β + cos α sin β: sin( arcsin x + arccos x) = sin( arcsin x) cos( arccos x)
+ cos( arcsin x) sin( arccos x) = sin π 2 Нам известно, что sin π, sin( arcsin x) = x
2 cos( arccos x) = x, тогда зная формулы sin( arccos x) =
√1 − x 2 и cos( arcsin x) = √1 − x 2: x 2 + cos( arcsin x) sin( arccos x)
= x 2 + cos �arccos �1 − x 2 � sin �arcsin �1 − x 2 � =
= x 2 + ��1 − x 2 � 2 = x 2 + 1 − x 2 = 1 arcsin x + arccos x = π( Ф. 1- доказана).
2
9