¹ 3-4( 17) 2017 Ìàòåìàòèêà
МИТАЛИПОВА АНИДА МУХИТОВНА
ученица 7 " L " класса Назарбаев интеллектуальная школа химикобиологического направления, г. Алматы
МАДЕЛХАНОВ СЕРЖАН СУНКАРОВИЧ
научный руководитель, магистр естественных наук, педагог-кураторорганизатор, преподаватель математики Назарбаев интеллектуальная школа химико-биологического направления, г. Алматы
Мақала кері тригонометриялық есептерге арналған. Кері тригонометриялық функциялардың формулалары көрсетілген, олардың кейбіреулері дәлелденген. Сонымен қатар кері тригонометриялық есептерді шешудің кейбір әдістері қарастырылған.
Статья посвящена обратным тригонометрическим задачам. Показаны формулы обратных тригонометрических функций, где некоторые из них доказаны. Также рассмотрены некоторые способы решения обратных тригонометрических задач.
The article is devoted to inverse trigonometric problems. Formulas for inverse trigonometric functions are shown, where some of them are proved. Also some methods of solving inverse trigonometric problems are considered.
НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Обратные тригонометрические функции часто встречаются в высшей математике( например, интеграл от дробно-рациональной функции; в теории вероятностей известен " закон арксинуса " и т. д.). Задачи по этой теме регулярно предлагаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и различных олимпиадах. Поэтому школьнику, желающему продолжить свое образование, нужно хорошо усвоить этот раздел тригонометрии.
Обратные тригонометрические функции считаются довольно сложной темой как в школьном курсе математики, так и при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. Причина этого заключается в том, что школьные учебники, многочисленные методические пособия излагают соответствующую теорию довольно формально. Систематическое использование графиков и геометрических представлений для определения аркфункций и решения соответствующих задач позволяет добиться хорошего понимания сути этой теории и выработать твердые навыки решения задач [ 1, 7-10 с ].
Данная статья рассматривает применение некоторых способов решения обратных тригонометрических задач одаренными учащимися 7-ых классов на элективном курсе " Тригонометрия ".
Цель научной статьи- углубление знаний учащихся, по разделу тригонометрии, а именно при решении задач на обратные тригонометрические функции. Для достижения цели, авторами статьи, поставлены следующие задачи: анализ развития обратных тригонометрических функций; важность и значимость определений, графиков и формул обратных тригонометрических функций; закрепление полученных знаний на практике, путем решения задач на обратные тригонометрические функции. Для начала дадим определение понятию обратной
тригонометрической функции( аркфункции):
Обратные тригонометрические функции( аркфункции)- это математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. К основным обратным тригонометрическим функциям относят четыре функции: y = arcsin x( арксинус- угол, синус которого равен x); y = arccos x( арккосинус- угол, косинус которого равен x); y = arctg x( арктангенс- угол, арктангенс которого равен x); y = arcctg x( арккотангенс- угол, арккотангенс которого равен x).
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки " арк- "( от лат. arcus- дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности( или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрические функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера( 1716-1783г. г.) и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году [ 2 ].
При построении любых графиков функций, важную роль играют знание и нахождение следующих значений( свойств функций): области определения функции, множества значения функции, четность и нечетность, нахождение координат графика функции, периодичность, возрастание и убывание функции и т. д.
Рассмотрим графики и свойства, следующих обратных тригонометрических функций: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x( Рис. 1.) [ 3, 286-406 с ]:
8