¹ 3-4 ( 17 ) 2017 Ìàòåìàòèêà
МИТАЛИПОВА АНИДА МУХИТОВНА
ученица 7 " L " класса Назарбаев интеллектуальная школа химикобиологического направления , г . Алматы
МАДЕЛХАНОВ СЕРЖАН СУНКАРОВИЧ
научный руководитель , магистр естественных наук , педагог-кураторорганизатор , преподаватель математики Назарбаев интеллектуальная школа химико-биологического направления , г . Алматы
Мақала кері тригонометриялық есептерге арналған . Кері тригонометриялық функциялардың формулалары көрсетілген , олардың кейбіреулері дәлелденген . Сонымен қатар кері тригонометриялық есептерді шешудің кейбір әдістері қарастырылған .
Статья посвящена обратным тригонометрическим задачам . Показаны формулы обратных тригонометрических функций , где некоторые из них доказаны . Также рассмотрены некоторые способы решения обратных тригонометрических задач .
The article is devoted to inverse trigonometric problems . Formulas for inverse trigonometric functions are shown , where some of them are proved . Also some methods of solving inverse trigonometric problems are considered .
НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Обратные тригонометрические функции часто встречаются в высшей математике ( например , интеграл от дробно-рациональной функции ; в теории вероятностей известен " закон арксинуса " и т . д .). Задачи по этой теме регулярно предлагаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и различных олимпиадах . Поэтому школьнику , желающему продолжить свое образование , нужно хорошо усвоить этот раздел тригонометрии .
Обратные тригонометрические функции считаются довольно сложной темой как в школьном курсе математики , так и при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения . Причина этого заключается в том , что школьные учебники , многочисленные методические пособия излагают соответствующую теорию довольно формально . Систематическое использование графиков и геометрических представлений для определения аркфункций и решения соответствующих задач позволяет добиться хорошего понимания сути этой теории и выработать твердые навыки решения задач [ 1 , 7-10 с ].
Данная статья рассматривает применение некоторых способов решения обратных тригонометрических задач одаренными учащимися 7-ых классов на элективном курсе " Тригонометрия ".
Цель научной статьи - углубление знаний учащихся , по разделу тригонометрии , а именно при решении задач на обратные тригонометрические функции . Для достижения цели , авторами статьи , поставлены следующие задачи : анализ развития обратных тригонометрических функций ; важность и значимость определений , графиков и формул обратных тригонометрических функций ; закрепление полученных знаний на практике , путем решения задач на обратные тригонометрические функции . Для начала дадим определение понятию обратной
тригонометрической функции ( аркфункции ):
Обратные тригонометрические функции ( аркфункции ) - это математические функции , которые являются обратными к тригонометрическим функциям . К основным обратным тригонометрическим функциям относят четыре функции : y = arcsin x ( арксинус - угол , синус которого равен x ); y = arccos x ( арккосинус - угол , косинус которого равен x ); y = arctg x ( арктангенс - угол , арктангенс которого равен x ); y = arcctg x ( арккотангенс - угол , арккотангенс которого равен x ).
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки " арк- " ( от лат . arcus - дуга ). Это связано с тем , что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности ( или углом , стягивающим эту дугу ), соответствующей тому или иному отрезку . Так , обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду , а обратная функция решает противоположную задачу . Манера обозначать таким образом обратные тригонометрические функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера ( 1716-1783г . г .) и закрепилась благодаря Лагранжу . Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году [ 2 ].
При построении любых графиков функций , важную роль играют знание и нахождение следующих значений ( свойств функций ): области определения функции , множества значения функции , четность и нечетность , нахождение координат графика функции , периодичность , возрастание и убывание функции и т . д .
Рассмотрим графики и свойства , следующих обратных тригонометрических функций : y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x ( Рис . 1 .) [ 3 , 286-406 с ]:
8