=a.a ′1 +a ′1 .a ′2 =(a+a ′2 ).a ′1 =1.a ′1 +a ′1
Demostrado.
Involución
Para demostrar el teorema de involución tenemos :
(a')' . a' = 0 ; (a')' + a' = 1
a . a' = 0 ; a + a' = 1
en consecuencia, tanto (a')' como a son complementos de a'
por lo que, teniendo en cuenta el teorema anterior, se deberá
cumplir :
(a')' = a
demostrado.
Propiedad de los elementos identidad de un álgebra de Boole
Teniendo en cuenta los axiomas 2 y 4 :
1' = 1' . 1 = 0 ; 0' = 0'+ 0 = 1
Demostrado.
Leyes de Morgan
Para demostrar las leyes de Morgan tenemos en cuenta que el
complementario de cualquier elemento de un álgebra de Boole
es único. Tenemos :
(a+b)⋅(aˉ⋅bˉ)=a⋅(aˉ⋅bˉ)+b⋅(aˉ⋅bˉ)=
=(a⋅aˉ)⋅bˉ+(b⋅bˉ)⋅a=0+0=0
donde hemos aplicado el axioma de distributividad y el de
conmutatividad y los teoremas de asociatividad y elemento
unidad.
(a+b)+(aˉ⋅bˉ)=(a+b+aˉ)⋅(a+b+bˉ)=
=[(a+aˉ)+b]⋅[a+(b+bˉ)]=(1+b)⋅(a+1)=1
donde hemos aplicado los axiomas de distributividad
conmutatividad y complementación y el teorema del elemento