finalmente el axioma de conmutatividad.
Con el anterior resultado supongamos que se tiene
x = [(a+b) + c] . [a + (b + c)]
aplicando los axiomas de distributividad nos queda :
[(a+b)+c]a+[(a+b)+c].(b+c)=a+[(a+b)+c].(b.c)
donde hemos aplicado el resultado anterior. Aplicando de nuevo la
distributividad, e1resultado anterior y el teorema de absorción :
a+[(a+b)+c].b+[(a+b)+c].c=
=a+b+[(a+b)+c].c=a+(b+c)
Por otro lado, aplicando los axiomas de distributividad, el resultado
anterior y el teorema de absorción, tenemos también :
x=[(a+b)+c].[a+(b+c)]=
=(a+b)[a+(b+c)]+c[a+(b+c)]
=(a+b)[a+(b+c)]+c=
=a[a+(b+c)]+b[a+(b+c)]+c=(a+b)+c
Por todo ello, teniendo en cuenta la propiedad transitiva de la
Igualdad:
a + (b + c) = (a + b) + c
Demostrado.
Elemento único
Para demostrar que el complemento definido por el postulado 4 es
único, supongamos que existen dos elementos a' y a' que lo
satisfacen. Esto es :
a + a' = 1 ; a + a' = 1 ; a.a' = 0 ; a.a' = 0
por los postulados 2b y 3b tendremos :
1
1
2
1
2
a ′2 =1.a ′2 =(a+a ′1 ).a ′2 =a.a ′2 +a ′1 .a ′2 =0+a ′1 .a ′2 =
2