58
CURIERUL LICEULUI
C ele două c u v in te , cele m a l sc u rte d e p ro n u n ţa t , D A şi N U , s în t cele care ce r cea m a i m a re lu a re a m in te .
( P I T A G O R A )
P r o b l e m e c u so lu ţ ii
I . Problem ă egipteană veche : „ Opisul inventarului gospodăriei : 7 case , 7 pisici , 7 şoareci , 7 spice de orz , 7 m ăsuri de grăunţe , - cîte sînt în to ta l ? " Problem a trebuie înţeleasă astfel : — în fiecare casă există 7 pisici , fiecare pisică m ănîncă 7 şoareci , fiecare şoarece 7 spice , fiecare spic fiind sem ănat ar da 7 m ă suri de grăunţe : se cere să se găsească sum a :
7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 75 75- 7 — 7 7 ( 75 — 1 ) 7-1 & -806 7 — 1 6 ~ 6
= 7-2801 = 19-G07
II . Dintr-o placă de m etal hexagonală să se taie un sfert fără să i se schim be forma .
Se îm parte hexagonul iu şase triunghiuri , iar fiecare din acestea în patru triunghiuri m ai mici egale . Se scot apoi cele 6 triu n ghiuri mici care se form ează în centrul plăcii hexagonale .
III- Un triunghi echilateral şi un hexagon regulat au perim etrele egale . C are este rap o r tul ariilor lor ? Laturile triunghiului şi ale hexagonului se află în raportul 2:1 . Să observăm că triunghiul poate fi descom pus în patru triunghiuri echilaterale , iar hexagonul în şase triunghiuri echilaterale , toate egale între ele .
Rezultă că raportul ariilor este 2 : 3 .
BĂNICĂ CAMELIA , XI B
/ // // // / ////////////////////////// A /////////////////////////////////////// A ///////////////////////// r w . f / w
I . F r a c ţ ii ir e d u c t i b ile
R ă s p u n s
Să se arate că în şirul Un , 2 / n . . . ( n — l )/ n unde n este un num ăr întreg pozitiv m ai mjare ca doi , num ărul de term eni care sînt fracţii ireductibile este par .
R ă s p u n s
D acă k / ji este o fracţie ireductibilă atunci şi ( 1 — k7n = ( n — k )/ n este tot o fracţie ireductibilă . Prin urm are fracţiile ireductibile se pot grupa în perechi , aşa că num ărul lor este par .
II . R a d ic a li s u p r a p u ş i
1 1 + 4
Să se calculeze :
14 + 10 \ / - \/ 3 __ V V ( 3n + 8 ) + ( n2 + 3n ) y ...
unde expresia scrisă explicit figurează sub al n-lea radical .
E xpresia pe care trebuie să o calculăm fiind o sum ă infinită , urm ează s-o in terp retăm ca lim ita unui şir an care se obţine , de exem plu , punînd zero sub al ( n + l ) -le a rad i cal . A cest şir a n este evident crescător .
Fie şirul b n care se obţine dacă sub al ( n + l ) -le a radical se pune ( n + 3 ). Din această definiţie rezultă că b + > an Pe de altă parte , pentru şirul b vom avea sub al n-lea radical ( 3n + 8 ) + ( n2 + 3 n )( n + 3 ) = ( n + 2 ) 3 , deci sub al ( n — l ) -lea radical ( 3n + 5 ) + ( n2 + n — 2 )( n + 2 ) = = ( n + l ) 3 , continuînd acest raţionam ent se obţine că sub prim ul radical avem ( 1 + 2 ) 3 , deci b n este şirul constant 3 . Rezultă că şirul an este m ărginit şi prin urm are convergent . Apoi ,
sau ,
3 » " = * ^ “ — ( n + 3 )
a n = 3 [ l — ( n + 3 )/ a 3n ] D3n şi deci lim . a n = 3 .
OPREA ELENA , XI B