58
CURIERUL LICEULUI
C ele două c u v in te, cele m a l sc u rte d e p ro n u n ţa t, D A şi N U, s în t cele care ce r cea m a i m a re lu a re a m in te.
( P I T A G O R A)
P r o b l e m e c u so lu ţ ii
I. Problem ă egipteană veche: „ Opisul inventarului gospodăriei: 7 case, 7 pisici, 7 şoareci, 7 spice de orz, 7 m ăsuri de grăunţe,- cîte sînt în to ta l? " Problem a trebuie înţeleasă astfel:— în fiecare casă există 7 pisici, fiecare pisică m ănîncă 7 şoareci, fiecare şoarece 7 spice, fiecare spic fiind sem ănat ar da 7 m ă suri de grăunţe: se cere să se găsească sum a:
7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 75 75- 7— 7 7( 75— 1) 7-1 &-806 7— 1 6 ~ 6
= 7-2801 = 19-G07
II. Dintr-o placă de m etal hexagonală să se taie un sfert fără să i se schim be forma.
Se îm parte hexagonul iu şase triunghiuri, iar fiecare din acestea în patru triunghiuri m ai mici egale. Se scot apoi cele 6 triu n ghiuri mici care se form ează în centrul plăcii hexagonale.
III- Un triunghi echilateral şi un hexagon regulat au perim etrele egale. C are este rap o r tul ariilor lor? Laturile triunghiului şi ale hexagonului se află în raportul 2:1. Să observăm că triunghiul poate fi descom pus în patru triunghiuri echilaterale, iar hexagonul în şase triunghiuri echilaterale, toate egale între ele.
Rezultă că raportul ariilor este 2: 3.
BĂNICĂ CAMELIA, XI B
/ // // // / ////////////////////////// A /////////////////////////////////////// A ///////////////////////// r w. f / w
I. F r a c ţ ii ir e d u c t i b ile
R ă s p u n s
Să se arate că în şirul Un, 2 / n...( n— l)/ n unde n este un num ăr întreg pozitiv m ai mjare ca doi, num ărul de term eni care sînt fracţii ireductibile este par.
R ă s p u n s
D acă k / ji este o fracţie ireductibilă atunci şi( 1— k7n =( n— k)/ n este tot o fracţie ireductibilă. Prin urm are fracţiile ireductibile se pot grupa în perechi, aşa că num ărul lor este par.
II. R a d ic a li s u p r a p u ş i
1 1 + 4
Să se calculeze:
14 + 10 \ /- \/ 3 __ V V( 3n + 8) +( n2 + 3n) y...
unde expresia scrisă explicit figurează sub al n-lea radical.
E xpresia pe care trebuie să o calculăm fiind o sum ă infinită, urm ează s-o in terp retăm ca lim ita unui şir an care se obţine, de exem plu, punînd zero sub al( n + l)-le a rad i cal. A cest şir a n este evident crescător.
Fie şirul b n care se obţine dacă sub al( n + l)-le a radical se pune( n + 3). Din această definiţie rezultă că b + > an Pe de altă parte, pentru şirul b vom avea sub al n-lea radical( 3n + 8) +( n2 + 3 n)( n + 3) =( n + 2) 3, deci sub al( n— l)-lea radical( 3n + 5) +( n2 + n— 2)( n + 2) = =( n + l) 3, continuînd acest raţionam ent se obţine că sub prim ul radical avem( 1 + 2) 3, deci b n este şirul constant 3. Rezultă că şirul an este m ărginit şi prin urm are convergent. Apoi,
sau,
3 » " = * ^“—( n + 3)
a n = 3 [ l—( n + 3)/ a 3n ] D3n şi deci lim. a n = 3.
OPREA ELENA, XI B