CURIERUL
LICEULUI
53
3.
U n e x e m p l u a n a l o g p e n t r u f u n c ţ i i : F ie
Tt
= 1
f şi g d o u ă f u n c ţ i i r e a l e d e f i n i t e p e u n i n t e r
v a l I d e n u m e r e r e a l e şi x n € I. D a c ă f u n c ţ i il e
5.
F ie f u n c ţ i a f : [a, b ] —>-R. S e v e r i f i c ă u ş o r
f + g şi f - g s în t
c o n tin u e
în x n, r e z u l t ă c ă
c ă d a c ă f e s t e s t r i c t m o n o t o n ă p e [a, b], a t u n c i
f u n c ţi ile f şi g s în t c o n t i n u e în x 0 ?
e s t e i n j e c t i v ă . D a r d a c ă f e s t e i n j e c t i v ă , a-
N u . C o n t r a e x e m p l u : f : R -> R , f(x) —
lu n c i e s t e e a s t r i c t m o n o t o n ă ?
_
1 — 1 , x £ ( — o o , 0 ] şi
N u . C o n t r a e x e m p l u : f : [0, 2]-+R, fţx) —
!
1 , x 6 ( 0 , o o )
__ 1 — x , x 6 [ 0 , 1)
f
g : R —► R, g (x) — ,
1 , X € ( — ° ° ,0 ]
— 1 , x € ( 0 , oo)
P e n t r u ( V ) x £ R a v e m : (f + g)(x)=>0 şi
(fy)(x) =“ — 1 f u n c ţ i i
c o n t i n u e în x 0 = 0 ,
d a r f u n c ţ i i l e f, g s în t d i s c o n t i n u e în
x () = 0. D a c ă î n s ă
adăugăm
co n d iţia
f(x) < g(x), (V) x ? V u n d e V e s t e o v e
c i n ă t a t e a lui x n, r ă s p u n s u l d e v i n e a f i r
m a t iv .
D e m o n s t r a ţ i e : F i e s =■ f + g şi
p = f -g . P e n t r u ( V) x € I, f(x) şi g(x) s în t
s o lu ţ i i a le e c u a ţ i e i X 2 — s (x )X + p(x) = 0 .
D eo arece p e n tru ( V ) x £ V av em f (x )<
< gţx) r e z u l t ă :
I M - i s |x |-
s ( x ) + V s 2 (x)
y^ E 5 F L
si (J<1[)_
4p(x)
s( X0)---1/ S-( X,,)-----4pţxn)
Deci lini f(x)
x-*x„
f(x„) şi
s(xn) +
lim gţx)
1 / s 2 (x 0 )— 4p(xo)
x-»x»
-y(xo)-
2
4.
D a c ă lim a n = l, s e p o a l e a f i r m a c ă lim
T1 —* G O
n - 4 ,0 0
sin ( n r e a n)i = 0 ?
Nu. C o n tra e x e m p lu : a n = l + a - l n ^
A vem
lim
n-»CO
1 j
~f------
a„ = -1 şi | s in (n 7 t a n ) I =
= |s i n [ n tc —}— a n I n ^1 -j——j
=
sin n tt cos
cos n Tisin
a n re In (1 -f-
a n t : In
+
I i , ----- 1
n
a t i In 1 1 -j- ± y
n J
1 )n
sin a 7 t 1 n 1 4 -
= | ( — 1 )n sin
D e c i lim | s in n ^ a n l ^ ! s in lim [oc
n-* 0 O
iv > 1 ,
(■ + : r
=
, .
n_*oo