3. Espacios vectoriales
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Ahora, nos interesa estudiar el espacio vectorial generado por los vectores filas (o
por los vectores columnas) de una matriz. Se empieza con algunas terminologías, sea
A ∈ Mm×n (F) tal que,
a11
a21
A = a31
..
.
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.
am1 am2 am3
a1n
a2n
a3n
.
..
.
· · · amn
···
···
···
..
.
Las filas de la matriz A, se denominan vectores fila de A.
(a11 , a12 , a13 , · · · , a1n ), (a21 , a22 , a23 , · · · , a2n ), · · · , (am1 , am2 , am3 , · · · , amn ).
De manera similar las columnas de la matriz A, se denominan vectores columna y
se denota de la siguiente manera,
(a11 , a21 , a31 , · · · , am1 ), (a12 , a22 , a32 , · · · , am2 ), · · · , (a1n , a2n , a3n , · · · , amn ).
Observe que para una matriz A ∈ Mm×n (F) los vectores fila son elementos de Fn y los
vectores columna son elementos de Fm .
Ejemplo 3.14
Consideremos la matriz A =
vectores columna de A.
2i −i 3i 0
2 −1 3 0
. Determinar los vectores fila y los
Solución. Los vectores fila de A son (2i, −i, 3i, 0), (2, −1, 3, 0) y los vectores columna
de A son (2i, 2), (−i, −1), (3i, 3), (0, 0).
Observe que (2i, −i, 3i, 0), (2, −1, 3, 0) ∈ F4 y (2i, 2), (−i, −1), (3i, 3), (0, 0) ∈ F2 .
Definición 3.8 Sea A ∈ Mm×n (F).
1. El espacio fila de A es el subespacio de Fn generado por los vectores fila de A,
2. El espacio columna de A es el subespacio de Fm generado por los vectores columna de A.
1 0 0 4i
Ejemplo 3.15 Consideremos la matriz A = 0 1 0 −7 . Determinar el espacio
0 0 1 8i
fila y el espacio columna de A.