прореживания в два раза. Если позволяют вычислительное ресурсы, то для подавления высокочастотных шумов рекомендуется перед прореживанием использовать низкочастотную линейную фильтрацию. В качестве ядра линейного фильтра обычно выбирают функцию Гаусса. В этом случае, пирамида называется гауссовой. Сжатие в гауссовой пирамиде, согласно теореме Котельникова, происходит с минимальной потерей информации. Изображение f( x, y) представляет собой уменьшенную копию исходного изображения f1( x, y). Размер пиксела изображения уровня N равен:
N
2 1
P 2 N � N
�( 1).
Для координат пикселов изображений двух произвольных уровней пирамиды с номерами n и m справедливы следующие соотношения: n�1 m�1
2 xn
� 2 xm, 2 y � 2
n�1 m�1 n
Помимо гауссовых пирамид изображений, специалистами в области компьютерного зрения, часто рассматриваются также пирамиды лапласианов. Для построения такой пирамиды выполняется следующая операция: каждый уровень LPT рекурсивно строится из ее более низкого уровня по следующим четырем основным процедурам: размытие( низкочастотная фильтрация), субдискретизация( уменьшение разрешения), интерполяция и дифференцирование( вычитание двух изображений пиксель за пикселем).
Размытым и субдискретизированным изображение получается путем первых двух процедур на каждом уровне декомпозиции, и эти частичные результаты, взятые из различных уровней разложения, могут быть использованы для построения пирамиды Гаусса. В обоих пирамидах самый нижний уровень строится из исходного изображения. При построении пирамид Гаусса и Лапласа размывание достигается использованием маски свертки V, которая должна подчиняться определенным ограничениям. Пусть G k-ый уровень
гауссовой пирамиды для изображения I. Тогда G0
� I и для k > 0 будет справедливо равенство:
G � [ * G ]
( 3),
k y m
� k �1 �2 где обозначает понижение разрешения сигнала на 2. Эта операция уменьшения разрешения выполняется в горизонтальном и вертикальных направлениях.
Каждый k-ый уровень из LPT может быть определен как взвешенная разница между последовательностями уровней гауссовой пирамиды:
L � G � G
( 4), k k
4 � *[ k �1] �2
где обозначает передискретизацию. Эта операция повышения частоты дискретизации, также выполняется в горизонтальном и вертикальном направлениях. Один из этапов LPT разложения представлен на рисунке 4. k
( 2).
Изображение может быть восстановлено путем обратной процедуры. Пусть G � восстановленная гауссова
пирамида. Реконструкция требует все уровни LPT, а также верхний уровень гауссовой пирамиды
�
Тогда GN � GN и для k > 0 будет справедливо равенство:
� k k k�1 �2
которое может быть использовано для вычисления G �
0
, реконструированной версии оригинала изображения G
0
.
�
G � N
.
G � L � 4 � *[ G ]
( 5),
20