За изменението на ъгъла между две посоки
Главните деформации са собствените числа на
матрицата-тензор
⎡ γ
⎤
dβ = ⎢− 1 . cos(α ij + α ik ) + sin(α ij + α ik )⎥. sin( β ) (8)
⎣ 2
⎦
E1 = λ1 ,
(16)
E2 = λ2
За относителното изменение на произволна
дължина в дадена посока, излизайки от формулата
dS = − cos α .dxi − sin α .dy i + cos α .dx k + sin α .dy k (9)
и се получават от решението на характеристичното
уравнение
и извършвайки аналогична преработка се получава
e11 − λ
e12
e12
e22 − λ
γ
dS γ 1
Δ
= . cos(2α ) + . sin(2α ) +
S
2
2
2
Ако потърсим максимума на
dS
S
(10)
намерим производната на тази функция и да я
приравним на нула
(11)
откъдето
следва
за
посочния
максималната деформация
ъгъл
γ
tg 2α = 2
γ1
стойност на
cosα
чрез
получаваме
деформации
(Е1,Е2 ) =
на
tgα ,
tgα ,
за
dS
S
получената
като изразяваме
sin α
и
извършваме преработка и
екстремалните
(главните)
1
(Δ ± γ )
2
(13)
Горните формули са получени от американския
геофизик Франк.
При извеждането на главните деформации
може да се разсъждава и по следния начин
Формира се
симетричния тензор на
деформациите
E=
e11
e12
e12
e22
,
22
1
(a12 + a 21 ).
2
ГКЗ 3-4 2013
(18)
където sinα и cosα са посочните им косинуси.
Решението на горните уравнения води до
tg 2α a =
2e12
,
e11 − e22 .
(19)
0
Ако се заместят изразите във формули и се
извърши съответната преработка се стига до
формулите на Франк.
3. ВРЪЗКА С МАТЕМАТИЧНАТА КАРТОГРАФИЯ
(с теорията на картните изображения)
Тук ще покажем, че съществува пряка връзка
между горните формули и формулите при картните
изображения.
Формално
ще
считаме,
че
началните
координати (x, y) са свързани с една оригинална
повърхнина, а деформираните координати (x’, y’)
се отнасят до някаква проекционна равнина. За
линейния елемент при двата случая имаме от
първата основна диференциална форма, както
следва
dS 2 = e.dx 2 + 2 f .dx.dy + g .dy 2
dS ' 2 = dx' 2 + dy ' 2
2
11 ,
,
(20)
(21)
където за факторите e, g, f имаме
e = a ;e = a
e12 =
e12 cos α + (e22 − λ ) sin α = 0
(14)
където
11
(e11 − λ ) cos α + e12 sin α = 0
α b = α a ± 90
(12)
Заместваме в израза за
(17)
Направленията на главните деформации се
дават чрез собствените вектори на същата
матрица и се извеждат от уравненията:
, ще трябва да
− γ 1 . sin 2α + γ 2 . cos 2α = 0 ,
= λ2 − (e11 + e22 )λ + (e11 .e22 − e12 e12 ) = 0
2
⎛ дx ⎞ ⎛ дy ⎞
2
е = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = a12 + a 22 = [aa ] = (a11 + 1) 2 + a 21
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠
2
22 ,
(15)
(22)
2
⎛ дx ⎞ ⎛ дy ⎞
2
+ (a 22 + 1) 2
g = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = b12 + b22 = [bb ] = a 21
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠
дx дx дy дy
f = . + . = a1.b1 + a 2 .b2 = [ab] = (a11. + 1).a12 + a 21 .(a 22 + 1)
∂x ∂y ∂x ∂y
15