(6)
или
(7)
От форм. (7), за изчисляването на ъгъл γ се получава следното уравнение:
(8)
или
(9)
След някои преобразувания и полагания горното уравнение се свежда до решаване на кубично уравнение. То може да бъде решено с т. н. „формула на Кардано“, но при нейното използване се преминава към комплексни числа и в този смисъл приложението й за целите на настоящата задача е неподходящо. Поради това тук се използва решение с реални числа, изведено от проф. Владимир Тодоров 1:
(10)
при условие, че:
Освен използването на форм. (10), авторът предлага и друг по-бърз начин за определяне на ъгъл γ. Той може да се получи чрез линейна интерполация от графика (фиг. 3), с аргумент стойността на параметъра „с“, изчислена чрез mβдоп, D и MPдоп по форм. (8). Графиката е построена въз основа на стойности на „с“, получени от уравнение (9) при зададени стойности на γ в достатъчно широк интервал (от 5 до 195 gon).
Фиг. 3. Графика за определяне на ъгъл γ
От горната графика се вижда, че за всяко „c“ отговарят две стойности на ъгъл γ, с изключение на cmax=0.7698 (γ=78.4155gon).
Стойностите на ъглите γ, определени по двата описани начина – чрез форм. (10) и чрез интерполиране от графиката (фиг. 3), се получават с разлики до 6.2 mgon, които се дължат на линейната интерполация. Влиянието на тази разлика върху разстоянието между изходните точки (фиг. 2) е от порядъка на 3-5 cm и може да бъде пренебрегнато. От тук следва, че стойността на ъгъл гама може без проблем да бъде определяна чрез линейна интерполация от горната графика.
С помощта на определения ъгъл γ се изчислява разстоянието SAB = 2a (фиг.2):
(11)
Имайки предвид, че т. С (фиг. 2) ни е известна (точка от оста на моста) и че направлението на изходните точки е проектирано перпендикулярно на оста на моста, с определеното от (11) разстояние „а“ се определят местата на изходните точки A и B.
В следващото изложение е предложена разработена от автора методика за проектиране на геодезически мрежи (при премостване на широки водни препятствия), при които разположението на точките по бреговете се определя така, че да се осигурява изискваната точност на трасиране на всички опори, включително и най-отдалечената, с възможност за използване на практически всички директни и индиректни методи на трасиране.
Проектирането на мрежите се извършва при следната последователност:
1. Проектиране на изходни точки, необходими за трасиране на мостови опори чрез директни методи с необходимата точност, с използване на ъглово-дължинни измервания.
1.1. Нанасяне на оста на моста, включително и местата на мостовите опори върху подходяща топографска основа.
1.2. Определяне на максималната дължина на визурата Smax и разстоянието D до най-отдалечените от бреговете мостови опори, които могат да се трасират
- Определяне на максималната дължина на визурата Smax.
Максималната дължина на визурата Smax може да се определи приблизително въз основа на следните фактори:
Грешката от визиране ΔВ, като функция на средната грешка при визиране с човешко око α=12mgon и увеличението vx=30xна зрителната тръба на ъгловия инструмент [9]:
(12)
Допустимата стойност на напречната грешка qдоп вследствие на грешката от визиране ΔВ и дължината на визурата Smax, без оглед на влиянието на външните условия:
(13)
Допустимата напречна грешка qдоп може да се изчисли от допустима грешка от трасиране на центъра на мостова опора MPдоп, като се приеме, че qдоп≤MPдоп/3. При MPдоп=9.5mm [10], следва, че qдоп≈3mm.
От форм. (13) при ΔВ=0.4mgon и qдоп=3mm, за максималната дължина на визурата се получава: Smax=[(qдоп ρсс)/ΔBmax]=480 m.
- Определяне на разстоянието D до най-отдалечените от бреговете мостови опори.
Разстоянието D от линията, определена от изходните точки до най-отдалечените от бреговете мостови опори (фиг. 4), които могат да се трасират директно с използване на ъглово-дължинни измервания, се избира така, че D < Smax.
1.3. Определяне на ъгловата точност на трасиране mβдоп
Точността на трасиране mβдоп е определена за максималната дължина на визурата Smax (за трасиране на най-отдалечената опора), при измерване/трасиране в един гирус, като функция на остатъчните инструментални грешки, грешката от визиране при различни атмосферни условия, влиянието на страничната рефракция, ексцентрицитетите на
27
1 проф.д-р Владимир Тодоров,УАСГ, к-ра „Математика“
ГКЗ 5-6 ' 2019