{ r }) w φ( r − r )
{ x , y })
= y f ( x ) 2 E( f ; ∑ −
= ∆∑ wiφ( r − ri
) = ∑ wi∆φ
( r − ri
) 0 i
• непрекъсната ;
• гладка – поне двукратно диференцируема ;
• хармонична – да изпълнява условието за хармоничност ∆T ( r � ) = 0 - уравнение на Лаплас за решаване на гранична задача .
За получаване на модела е избрана интерполация с полихармонични сплайнове , при която аномалният гравитационен потенциал е представен в базис от радиални функции с подходящи тежести :
� � T ( r;
{ r }) w φ( r − r )
{ r � } където i
центрове , а
i
= ∑ i
w i
� i
( 5 ) е множеството от интерполационни
i са съответните тежести . Радиалните функции са скаларни , зависят единствено от
разстоянието
� r − r i в съответната метрика между
точките , зададени от r � r � и i , и в най-простия си вид се представят чрез някой от следните записи :
φ
( r)
+ k ∈ Ζ
2k
⎧ r
= ⎨ 2k
⎩r ln
−1
( r)
За конкретната реализация е избрана базисна радиална 2 φ ( r) = r ln r
, тъй като не участват функция от вида
( )
свободни параметри и тя е ядрото на сплайна на тънка пластина . Този сплайн минимизира енергетичния функционал :
{ x , y })
= y f ( x ) 2 E( f ; ∑ −
,
{ x } където с i, y i i i i i i
е означено множеството от изходни точки използвани за получаване на апроксимацията .
Такова представяне на потенциала по построение изпълнява първите две условия – за непрекъснатост и диференцируемост , а хармоничността му се налага експлицитно .
1.3 . Построяване на модела
Тъй като в голямата си част земната маса е съсредоточена в мантията и ядрото на Земята , масовото разпределение е най-значимо в самата мантия , а разпределението на плътността в земната
( 6 )
( 7 ) кора оказва относително по-малко влияние върху гравитационния потенциал , е направено допускането , че потенциалът зависи сравнително слабо от надморската височина . В допълнение , типичните височини на геоида и релефа са в порядъци по-малки от характеристичните размери на избрания елипсоид , което прави възможно такова разглеждане . Следствие от тези съображения е зависимостта на потенциала единствено от географските ширина и дължина , но не и от надморската височина , а евклидовите разстояния се задават от съответните геодезически линии .
Условието за хармоничност се получава директно от представянето на аномалния потенциал :
� � �
� ∆T
( r; =
{ ri
})
= ∆∑ wiφ( r − ri
) = ∑ wi∆φ
( r − ri
) 0 i
като за избраната радиална базисна функция :
� ∆φ
�
( r − r ) = 5 + 6ln
( r − )
� � i r i
( 9 )
Определянето на изходните стойности на аномалния гравитационен потенциал се извършва от наличните аномалии на височините и съответно познатите географски координати на точките на измерване във връзка с формула ( 11 ):
�
T = T i
( r ) = γ ( r ) ζ ( r ) i
� i
� i
Използваме следните означения ( n ( 10 ) е броят на интерполационните центрове ):
⎡ φ0 ⎢
� ⎢
⎢ φ j0
⎢ ⎢
�
⎢ φn0
Φ = ⎢ ⎢∆φ0 ⎢ � ⎢ ⎢∆φ j0
⎢ � ⎢ ⎢⎣ ∆φn0
� � � � � � � � � � φ
0i
�
φ
φ ni
ji
�
∆φ �
0i
∆φ � ∆φ ni
ji
� � � � � � � � � � ji
( r � j r � φ = φ − i
) ji
( r � j r � ∆φ = ∆φ − i
)
T ( r � � = γ ) ζ ( r ) j j j φ0n ⎤
�
⎥ ⎥ φ jn
⎥ ⎥
�
⎥ φ ⎥ n
⎥ φ0n
⎥ � ⎥
⎥ ∆φ jn ⎥ � ⎥
⎥ ∆φn
⎥⎦ i
⎡w0 ⎤
⎢ � ⎥
⎢ ⎥ w = ⎢wi
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
� ⎥
⎢⎣ w ⎥ n ⎦
⎡T0 ⎤
⎢ � ⎥ ⎢ ⎥ ⎢T j
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ � ⎥
⎢T ⎥ n
v = ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ � ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ � ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Матрицата Φ не е квадратна и включва двете условия за намирането на потенциала на функцията , която го описва да минава през изходните точки и да бъде хармонична . За намирането на неизвестните тежести , матричното уравнение се решава в смисъл на найдобро приближение чрез метода на най-малките квадрати , използвайки разложение по сингулярни стойности ( singular value decomposition ).
( 8 )
( 11 )
( 12 )
ГКЗ 1-2 ’ 2016 5