{ r }) w φ( r − r)
{ x, y })
= y f( x) 2 E( f; ∑ −
= ∆∑ wiφ( r − ri
) = ∑ wi∆φ
( r − ri
) 0 i
• непрекъсната;
• гладка – поне двукратно диференцируема;
• хармонична – да изпълнява условието за хармоничност ∆T( r �) = 0- уравнение на Лаплас за решаване на гранична задача.
За получаване на модела е избрана интерполация с полихармонични сплайнове, при която аномалният гравитационен потенциал е представен в базис от радиални функции с подходящи тежести:
� � T( r;
{ r }) w φ( r − r)
{ r � } където i
центрове, а
i
= ∑ i
w i
� i
( 5) е множеството от интерполационни
i са съответните тежести. Радиалните функции са скаларни, зависят единствено от
разстоянието
� r − r i в съответната метрика между
точките, зададени от r � r � и i, и в най-простия си вид се представят чрез някой от следните записи:
φ
( r)
+ k ∈ Ζ
2k
⎧ r
= ⎨ 2k
⎩r ln
−1
( r)
За конкретната реализация е избрана базисна радиална 2 φ( r) = r ln r
, тъй като не участват функция от вида
()
свободни параметри и тя е ядрото на сплайна на тънка пластина. Този сплайн минимизира енергетичния функционал:
{ x, y })
= y f( x) 2 E( f; ∑ −
,
{ x } където с i, y i i i i i i
е означено множеството от изходни точки използвани за получаване на апроксимацията.
Такова представяне на потенциала по построение изпълнява първите две условия – за непрекъснатост и диференцируемост, а хармоничността му се налага експлицитно.
1.3. Построяване на модела
Тъй като в голямата си част земната маса е съсредоточена в мантията и ядрото на Земята, масовото разпределение е най-значимо в самата мантия, а разпределението на плътността в земната
( 6)
( 7) кора оказва относително по-малко влияние върху гравитационния потенциал, е направено допускането, че потенциалът зависи сравнително слабо от надморската височина. В допълнение, типичните височини на геоида и релефа са в порядъци по-малки от характеристичните размери на избрания елипсоид, което прави възможно такова разглеждане. Следствие от тези съображения е зависимостта на потенциала единствено от географските ширина и дължина, но не и от надморската височина, а евклидовите разстояния се задават от съответните геодезически линии.
Условието за хармоничност се получава директно от представянето на аномалния потенциал:
� � �
� ∆T
( r; =
{ ri
})
= ∆∑ wiφ( r − ri
) = ∑ wi∆φ
( r − ri
) 0 i
като за избраната радиална базисна функция:
� ∆φ
�
( r − r) = 5 + 6ln
( r −)
� � i r i
( 9)
Определянето на изходните стойности на аномалния гравитационен потенциал се извършва от наличните аномалии на височините и съответно познатите географски координати на точките на измерване във връзка с формула( 11):
�
T = T i
( r) = γ( r) ζ( r) i
� i
� i
Използваме следните означения( n( 10) е броят на интерполационните центрове):
⎡ φ0 ⎢
� ⎢
⎢ φ j0
⎢ ⎢
�
⎢ φn0
Φ = ⎢ ⎢∆φ0 ⎢ � ⎢ ⎢∆φ j0
⎢ � ⎢ ⎢⎣ ∆φn0
� � � � � � � � � � φ
0i
�
φ
φ ni
ji
�
∆φ �
0i
∆φ � ∆φ ni
ji
� � � � � � � � � � ji
( r � j r � φ = φ − i
) ji
( r � j r � ∆φ = ∆φ − i
)
T( r � � = γ) ζ( r) j j j φ0n ⎤
�
⎥ ⎥ φ jn
⎥ ⎥
�
⎥ φ ⎥ n
⎥ φ0n
⎥ � ⎥
⎥ ∆φ jn ⎥ � ⎥
⎥ ∆φn
⎥⎦ i
⎡w0 ⎤
⎢ � ⎥
⎢ ⎥ w = ⎢wi
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
� ⎥
⎢⎣ w ⎥ n ⎦
⎡T0 ⎤
⎢ � ⎥ ⎢ ⎥ ⎢T j
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ � ⎥
⎢T ⎥ n
v = ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ � ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ � ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Матрицата Φ не е квадратна и включва двете условия за намирането на потенциала на функцията, която го описва да минава през изходните точки и да бъде хармонична. За намирането на неизвестните тежести, матричното уравнение се решава в смисъл на найдобро приближение чрез метода на най-малките квадрати, използвайки разложение по сингулярни стойности( singular value decomposition).
( 8)
( 11)
( 12)
ГКЗ 1-2’ 2016 5