стойности близки до единица . Тежестните матрици се изчисляват от нормираните корелационни матрици . Нормирането на корелационните матрици не влияе на изравнението , то променя само стандарта ( средната квадратна грешка за единица тежест ) на измерванията . Корелационните матрици се нормират с коефициент : q � � , където s � ∑ � ∑ k � ��� � ��� �� � , n� 3m , ( 9 )
където m е броят на измерените вектори , k �� са диагоналните елементи на корелационните матрици на измерените вектори .
При това условие , средната квадратна грешка за единица тежест съвпада със средната квадратна грешка на компонентите на вектора с диагонален елемент на нормираната корелационна матрица – единица .
Нормираната корелационна матрица на измерените вектори се определя по формулата :
�Q � � �� ��Q ��� � �� � q�K ��� � �� � � �K � ���� � �� �
Q ������ Q ��� ��� Q ��� ��� �Q ������ Q ��� ��� Q ��� ��� � ( 10 ) Q ������ Q ��� ��� Q ��� ���
Във формула ( 10 ) μ е средната квадратна грешка ( емпиричният априори приет стандарт ) за измерена компонента с тежест единица .
Матрицата на тежестите на компонентите на измерените вектори : P �� ��Q �� ��� � ��
( 11 )
е положително определена и симетрична с размери 3x3 . В матричен вид , системата от уравненията на поправките за всички вектори , се представя във вида :
V � Aδu � f , ( 12 ) където матриците в горното равенство в клетъчна структура имат вида :
V � �v � � ;
A ��a � . �� � ;
f � �f � � ; v � ��
� v �
� v �
� v �
� ; e , за i � k ; a � . �� �� �e , за j � k ;
О , за i и j дадени ;
�� f �
f � �� � ;
�� f �
�� f �
( 13 ) m � 1 , 2 , . . . , M ; l � 1 , 2 , . . . , k ; i , j � 1 , 2 , . . . k . . . n ; Матриците e и O във формули ( 13 ) са съответно единичната и нулевата матрица с размер 3x3 , т . е . 1 0 0 0 0 0 е��0 1 0� ; О��0 0 0� ; ( 14 )
0 0 1 0 0 0 Следователно , клетките на матрицата A се състоят от
единични матрици с размери 3x3 , които са със знак плюс за J -та точка , ако е новоопределяема , и са със знак минус за I -та точка , ако е новоопределяема . В клетките на I -ия ред на матрицата A има нулеви , една или максимум две единични матрици , от които едната е със знак плюс , а другата е със знак минус .
• Нормални уравнения |
Съгласно общата теория , матрицата на системата |
нормални уравнения има вида : |
Nu � F � 0 , |
( 15 ) |
където : N � A � P ′ A ; |
F � A � P ′ f |
( 16 ) |
Във формула ( 16 ) матрицата на тежестите е квазидиагонална с диагонални клетки - тежестните матрици на измерените вектори . P ′ ��p ′ �� � ; p ′ �� � p �� �p �� � , за I = i�j� ( 17 ) Както е известно , матрицата на системата нормални уравнения може да се състави , като се изчисли приносът на всяко уравнение на поправките върху матрицата на системата нормални уравнения и стълба на свободните ѝ членове , при условие , че измерените величини са независими . Това е в сила не само за скаларни уравнения , а и за групи от зависими измервания , но без корелационна зависимост между групите . В този случай , тежестната матрица на системата уравнения на поправките е квазидиагонална . В общия случай групите могат да бъдат с различни размери . В случая на ГНСС измервания всеки измерен вектор има три компонента , които са зависими , но се приема , че между векторите корелация няма . Разбира се , това не е съвсем вярно при синхронни наблюдения ( едновременни измервания на повече от един вектор ), но на този етап корелационни зависимости между векторите не се извеждат при обработката на векторите .
Като се имат предвид горните условия и клетъчните структури на матриците A , P и f за клетките на матриците N , P и F на системата нормални уравнения , следва : N ��N �� � ; N �� � ∑ ��� , � P �� ; N �� ��∑ ��� , ��� P �� ; F � �F � � ;
( 18 )
F � � ∑ ��� P �� f �� � ∑ ��� P �� f �� ; f � P ′ f � ∑�
��� f � �P � . �� f � � ; I , J � 1 , 2 , . . . , k От горните формули могат да се направят следните изводи . Диагоналните клетки NII на матрицата N се изчисляват , като се сумират тежестните матрици на всички вектори , в които новоопределяемата точка I участва . Недиагоналните клетки NIJ се изчисляват , като се сумират със знак минус тежестните матрици на всички многократни измервания на вектори между точки I и J , когато и двете са новоопределяеми . Стълбът на свободните членове FI се
изчислява , като се сумират всички произведения Pijfij , в които точката I участва . Произведенията Pijfij се вземат със знак плюс , ако I = j ( т . е . ако I e наблюдаваната точка ) и със знак минус , ако I = i ( т . е . ако I е изходната точка ).
От формули ( 18 ) следва , че за съставяне на системата нормални уравнения не е необходимо да се съставят уравненията на поправките в явен вид , достатъчно е само да се изчислят свободните членове и матриците на тежестите им .
Ако между две точки векторът е измерен многократно , то в изравнението може да се вземе обобщеното средноаритметично ( наречено тук еквивалентен вектор ) от измерените вектори с неговата нормирана корелационна матрица . Обобщените средноаритметични стойности на един ( еквивалентен означен с вълна ) вектор , измерен многократно , се изчисляват по формулата :
�
Δu� �� � Q� �� ∑
� ��� p �� Δu � �� , ( 19 )
с тежестна матрица P� �� , където :
� �
��
P� �� ��∑��� p �� � ; Q� �� � P� �� ( 20 )
�
Ако измереният вектор e Δu �� ( вместо Δu � �� ) в първото равенство на формула ( 19 ), стойностите на компонентите
� му се вземат с обратен знак , т . е . Δu �� ��Δu � �� . След намирането на стойностите на еквивалентния
8 ГКЗ 1-2 ’ 2021