Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 43

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“LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 43 — #43

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1.3. TRASFORMAZIONI PLANARI

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Apprendimento parametri Affini
La trasformazione affine è definita da sei parametri, due coordinate di traslazione
e quattro componenti della matrice che adesso non è più vincolata ad essere una
matrice di rotazione. Considerando che ogni coppia di punti contribuisce con
due vincoli alla soluzione, sono necessarie almeno N = 3 coppie di punti per
determinare univocamente una soluzione. La funzione obiettivo in questo caso
si esprime
N
T

ˆ
ˆ
ΦM L , τM L = argmin
Φ,τ

(xi − Φwi − τ ) (xi − Φwi − τ )
i=1

La soluzione di questo problema si ottiene osservando che la trasformazione
Φwi + τ può essere riscritta sotto forma di una funzione lineare delle incognite
Φ e τ giungendo ad un problema lineare di minimi quadrati.


φ1,1
φ1,2 


u vi 1 0 0 0  τx 

 = Ai bi
Φwi + τ = i
0 0 0 ui vi 1 φ2,1 


φ2,2 
τy
Apprendimento parametri dell’Omografia
L’omografia è parametrizzata come una matrice 3×3 in cui le incognite sono solo
8 in quanto è definita a meno di una costante moltiplicativa. Questo significa che
considerando che ogni coppia di punti contribuisce con due vincoli alla soluzione,
sono necessari almeno N = 4 coppie di punti per determinare univocamente la
soluzione. Il problema dell’apprendimento viene così riformulato
N

ˆ
ΦM L =

xi −
i=1

φ1,1 ui + φ1,2 vi + φ1,3
φ3,1 ui + φ3,2 vi + φ3,3

2

+ yi −

φ2,1 ui + φ2,2 vi + φ2,3
φ3,1 ui + φ3,2 vi + φ3,3

2

Questo è un problema di ottimizzazione non lineare che non offre la possibilità
di derivare una soluzione in forma chiusa. L’ottimizzazione di questa funzione
richiede quindi l’utilizzo di approcci iterativi. Dal momento che è presente
un’ambiguità di scala l’ottimizzazione sarà soggetta al vincolo che la somma dei

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