Tesi Robotica Algoritmi ed architetture per la risoluzione di... | Page 32
1.6. DISTRIBUZIONE NORMALE BIVARIATA
1.6.1
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Proprietà base
1. X è distribuita normalmente con m media e sv deviazione standard.
2. Y è distribuita normalmente con n media e t deviazione standard.
3. cor(X,Y)=r.
4. X e Y sono indipendenti se e solo se r=0.
Così, per due variabili casuali con una distribuzione congiunta normale, le
variabili casuali sono indipendenti se e solo se sono incorrelati.
1.6.2
Probabilità funzione di densità
Possiamo usare la formula di cambiamento delle variabili, per trovare la densità
congiunta di (X, Y).
La funzione di probabilità congiunta di (X,Y) è
f (x, y) =
2fi‡·
1
1 ≠ p2
;
exp ≠
5
6<
1
(x ≠ µ)2
(x ≠ µ)(y ≠ v) (y ≠ v)2
≠ 2p
+
, (x, y)‘R2
2(1 ≠ p2
‡2
‡·
·2
Per c> 0, l’insieme dei punti {(x, y): f (x, y) = c} è detta curva di livello di f
(questi sono curve di densità di probabilità costante).
1.6.3
Trasformazioni
Definire W = a1 + b1 X + c1 Y e Z = a2 + b2 X + c2 Y dove i coe cienti sono in R
e b1 c2 ≠ c1 b2 ”= 0 . Poi (W, Z) ha una distribuzione normale bivariata. Inoltre,
• E(W ) = a1 + b1 µ + c1 v
• E(Z) = a2 + b2 µ + c2 v
• var(W ) = b2 ‡ 2 + c2 · 2 + 2b1 c1 p‡·
1
1
• var(Z) = b2 ‡ 2 + c2 · 2 + 2b2 c2 p‡·
2
2