-
APLICAȚII ALE FORMULELOR DE CUADRATURĂ
Prof. SUCIU GHEORGHE
COLEGIUL TEHNIC AIUD
În matematică cât și în alte domenii,întâlnim diferite tipuri de funcți,funcții integrabile f(x),
pentru care putem găsi o primitivă F(x) si funcții f(x) pentru care nu putem găsi o primitiva F(x).
În acest context dacă
∶ a, b → R este o funcție integrabilă și putem găsi o primitivă F(x) a ei
,atunci conform formulei lui Leibniz-Newton avem:
Intrepretarea geometrică este dată în figura de mai jos:
.
Mărimea suprafeței S este dată de integrala funcției f(x) între a și b:
.
În calculele inginerești se întâlnesc numeroase situații în care este necesară rezolvarea
integralelor definite (ex. determinarea modelului matematic pentru diverse tipuri de reactoare,
determinarea concentrației fracțiunilor la distilarea simpla etc.).
Integralele prezentate în cursurile obișnuite de analiză matematică sunt alese intenționat
pentru simplitatea lor, în scopuri didactice. Cele găsite în aplicațiile reale sunt adesea mult mai
complicate. Unele integrale nu pot fi calculate exact, altele necesită funcții speciale care sunt la
rândul lor dificil de calculat, iar altele sunt atât de complicate încât fie nu pot fi rezolvate analitic,
fie rezolvarea lor necesită un volum foarte mare de muncă și de timp. Pentru rezolvarea integralelor
complexe într-un mod cât mai eficient (cât mai simplu și într-un timp cât mai scurt) au fost
elaborate numeroase metode de aproximare a integralelor. Una dintre metodele cele mai populare și
mai frecvent folosite este metoda grafică.
Metoda grafică presupune trasarea pe hârtie milimetrică a functiei f(x), reprezentarea
intervalului pe care se face integrarea (punctele x = a si x = b) urmată de planimetrarea suprafeței
mărginite de axa x, de curba descrisă de functia f(x) si de paralelele la ordonata corespunzătoare
a punctelor a si b. Acest procedeu este destul de laborios, necesitând multă atenție și acuratețe
grafică. Cu toate acestea, metoda este în continuare folosită ca instrument în rezolvarea integralelor
definite apărute în problemele de inginerie.
O altă categorie de metode de aproximare a integralelor definite sunt metodele numerice.
Metodele numerice pot fi mai simple sau mai complexe, în functie de precizia cu care trebuie
calculată integrala. Cu cât precizia este mai buna, cu atât metoda este mai complexă, iar volumul de
muncă mai mare. Dezvoltarea tehnicii de calcul a făcut și face ca aceste metode să fie din ce în ce
mai abordabile, reducând considerabil atât volumul de muncă cât și timpul de lucru. Cele mai
populare metode de intregrare numerică sunt: metoda dreptunghiului, metoda trapezului, regula
Simpson,metoda Romberg.
Un mod de rezolvare a acestor tipuri de integrale este să aproximăm funcția f(x) printr-un
polinom P(x), de exemplu prin polinomul de interpolare a lui Lagrange și să integrăm acest
polinom, integrarea în această situație fiind un calcul simplu.Acest mod de rezolvare a integralelor
se realizează prin formule de integrare numerică numite și formule de cuadratură.
Prin formulă de integrare numerică sau formulă de cuadratură înțelegem o formulă de
următorul tip.
533