Revista SICES - Segunda Edición 2019 Julio 2019 | Page 55

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tanto, aτ1 ○ τ2c (Resp. aτ2 ○ τ1c) y así
τ1 ○ τ2 (Resp. τ2 ○ τ1) es transitiva.
Las propiedades de ser relación de
equivalencia y orden parcial también
observan un mejor comportamiento.
Proposición 6. Sean τ 1 y τ 2 relaciones
sobre D # , tales que τ 1 es reflexiva,
τ 1 ○ τ 2  ≠  ∅ , τ 2 ○ τ 1  ≠  ∅ y τ 1   ⊆  τ 2 .
1. Si τ 2 es relación de equivalencia,
entonces τ 1 ○ τ 2 y τ 2 ○ τ 1 también lo
son.
2. Si τ 2 es un orden parcial, entonces
τ 1 ○ τ 2 y τ 2 ○ τ 1 también lo son.
Se observa entonces que se obtienen
mejores resultados respecto a algu-
nas de las propiedades clásicas de
relaciones. Lastimosamente esto no
ocurre aún con la propiedad multipli-
cativa, como se muestra en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 5. Si τ 1   ⊆  τ 2 y τ 1 es multi-
plicativa por la izquierda, no nece-
sariamente la composición también
lo es. Si se considera τ 1  = {(2 n , 2 m )
: n, m  ∈  ℤ + } (una relación multi-
plicativa) y τ 2 =τ 1 ∪ {(3,2 n ): n  ∈  ℤ + }.
Entonces τ 1 ○ τ 2  = τ 2 . Note que τ 2 no es
multiplicativa por la izquierda porque
(2, 2),  (3, 2)  ∈  τ 1 ○ τ 2 , pero (6, 2) ∉
τ 1 ○ τ 2 . Si τ 1   ⊆  τ 2 y τ 2 es multiplicativa
por la derecha, no se tiene que τ 1 ○ τ 2 ni
τ 1 sean multiplicativas por la derecha.
Considere τ 1  = {(2, 2)} y τ 2  = {(2, 2 n ) :
n  ∈  ℤ + }. Entonces τ 1 ○ τ 2  = τ 1 , la cual no
es multiplicativa.
Se concluye que aun imponiendo las
condiciones τ 1   ⊆  τ 2 y τ 1  = τ 2 , que se
pueden considerar “fuertes”, estas no
logran que se preserve la propiedad
multiplicativa en la composición. En
la siguiente parte se muestran algunos
ejemplos y propiedades de τ 1 ○ τ 2 -factor-
izaciones para situaciones particulares,
estos casos han sido estudiados ante-
riormente y considerado importantes
por los autores referenciados en este
trabajo.
Algunos ejemplos concretos
La relación τ(n) donde n ∈ ℕ.
Sea D = ℤ y n un entero positivo fijo,
entonces se define la relación τ(n) sobre
ℤ # como aτ(n)b si y solo si a − b  ∈  (n).
Observe que a − b  ∈  (n) si y solo si
a − b = nk para algún k  ∈  ℤ. Pero
esto es equivalente a decir que a  ≡  b
(mod n). Es decir, τ( n ) =  ( ≡  n ∩ τ ℤ# ),
donde   ≡  n es la relación de congruen-
cia módulo n sobre ℤ. Por Anderson
y Frazier (2011) y Hamon (2007), se
conoce que τ( n ) preserva asociados y
es multiplicativa solo cuando n = 2;
pero nunca es divisiva, si n > 1. Como
τ( n )  =  ( ≡   n ∩ τ ℤ# ), la intersección de
dos relaciones de equivalencia sobre
ℤ # , τ( n ) también es una relación de
equivalencia.
Observe que usualmente la relación
módulo n en ℤ, está definida para
n > 1. Pero la relación τ( n ) se puede
definir para n  ∈  ℤ. Como (−n) = (n),
τ( −n ) = τ( n ). Por lo tanto, solo se
considera cuando n ≥ 0. Si n = 0,
entonces τ( n ) = τ( 0 ) = id ℤ# , pues dos
elementos se relacionan sí y solo sí
son iguales. Si ambos n = m = 0,
entonces gcd(0, 0) no está definido.
Pero τ( 0 ) ○ τ( 0 )=τ( 0 )=id ℤ# . Si n ≠ 0
y m = 0, entonces τ( n ) ○ τ( m ) = τ( n ),
pues τ( 0 )=id ℤ# . Por otro lado, note
que gcd(n, 0)=n y τ( n ) ○ τ( 0 )=τ( n )=τ( gc-
(n, 0)). Ahora, suponer que n,m  ∈  ℤ*,
d
por la definición de composición se
tiene que aτ( n ) ○ τ( m )b si y solo existe
c  ∈  ℤ # tal que aτ( m )c y cτ( n )b, es decir
que m|c−a y n|b−c. Si n = 1, entonces
τ( 1 ) = τ ℤ# , pues la diferencia de cua-
lesquiera dos enteros es divisible por
1. La siguiente proposición provee la
caracterización de esta composición,
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cuando n y m son enteros mayores que
1.
Proposición 7. Si n, m > 1, entonces
τ( n ) ○ τ( m ) = τ( gcd ( m ,  n )).
Demostración.
(  ⊆  ) Si aτ( n ) ○ τ( m )b, por la definición
de composición, existe c  ∈  ℤ  +   tal que
m|c − a y n|b − c. Si g = gcd(m, n),
entonces g|c − a y g|b − c. Por lo tanto,
g|(c − a) + (b − c) = b − a y aτ(g)b.
(  ⊇  
) Para la otra contenencia,
suponer que g = gcd(m, n) y aτ(g)
b. Entonces g|a − b (ó g|b − a). Por
ende, gt = a − b para algún entero t.
Por la Identidad de Bezout, existen
enteros k 1 , k 2 tales que g = mk 1  + nk 2 .
Si n 1  = tk 1 y n 2  = tk 2 , entonces a − 
b = gt = tmk 1  + tnk 2  = mn 1  + nn
. Considere c=a− 
mn 1  = b + nn 2 .
2
Despejando se obtiene que a− c = mn 1
y c − b = nn 2 . Esto quiere decir que
m|a − c y n|c − b. Por la definición, se
tiene que cτ( n )b y aτ( m )c. Por la defin-
ición de composición, aτ( n ) ○ τ( m )b.
Corolario 1. Sean m, n  ∈  ℤ + . Si n|m,
entonces
1. τ( m )  ⊆  τ( n ),
2. τ( m ) ○ τ( n ) = τ( n ), y
3. τ( lcm ( m ,  n ))  ⊆  τ( m ) ○ τ( n ).
Note que estos resultados proveen for-
mas de factorizar la relación τ( n ) como
composición de otras dos, de modo
que al menos para esta relación, se
puede predecir qué propiedades (si las
hay) les traslada la composición a sus
factores.
La relación |τ
Ortiz (2008) desarrolló la relación (que
llamó operador) | τ , que fue definida en