Revista SICES - Segunda Edición 2019 Julio 2019 | Page 56

50
Ciencias Físicas, Agropecuarias, Matemáticas e Ingeniería
Anderson y Frazier (2011) como: dada
una relación simétrica τ en D # , a| τ b si
existe una τ-factorización b = λab 1 ⋯ b n
para b, donde a aparece como τ-factor.
La expresión “a|τb”, se lee “a τ-divide
a b”. La siguiente proposición revela
algunos detalles sobre propiedades de
esta relación y algunas composiciones.
Proposición 8. Sean τ 1 y τ 2 dos rela-
ciones sobre D # . Suponer que a, b  ∈  D # .
1. Si a| τ1 b y id Coim ( τ1 )  ⊆  τ 2 , entonces
a| τ1 ○ τ2 b.
2. Si τ 1 es transitiva,
a. τ 12   ⊆  τ 1 ,
b. las τ 12 -factorizaciones son
τ 1 -factorizaciones,
c. si a|τ 12 b, entonces a|τ 1 b, y
d. los τ 1 -primos son τ 12 -primos.
Recuerde que | τ es una relación, luego
se puede pensar en la composición
|τ ○ |τ = |τ 2 . Esta nueva relación no es
vacía puesto que | τ es reflexiva, además
se tienen las siguientes propiedades.
Proposición 9. Dada una relación τ
sobre D # .
1. Si τ es divisiva, |τ = |τ 2 .
2. Si τ es transitiva, |τ 2   ⊆  |τ 2 .
3. Si τ es reflexiva y transitiva,
|τ  ⊆  |τ 2   ⊆  |τ 2 .
Este listado de composiciones y con-
tenencias pueden servir de ejem-
plos o contraejemplos en estudios
futuros relacionados con los concep-
tos de τ-factorizaciones y composi-
ciones. Además, esta relación brindó
la idea de que se pueden caracterizar
propiedades de relaciones en términos
de composiciones.
Conclusiones
Este estudio abre el camino para anali-
zar con detalle las τ 1 ○ τ 2 -estructuras. Se
observó las propiedades que se here-
dan entre τ 1 , τ 2 y su composición τ 1 ○ τ 2 .
Se mostraron algunos ejemplos para
observar que es posible hacer deduc-
ciones sobre las τ 1 ○ τ 2 -factorizaciones a
partir de información sobre los facto-
res de la composición. Se debe indicar
que en general, el comportamiento de
la herencia de propiedades entre rela-
ciones τ 1 , τ 2 y su composición τ 1 ○ τ 2 ,
no es el mejor. Esto sugiere que los
estudios futuros relacionados a esta
temática sean más complicados.
Trabajos futuros
Estudio de τ 1 ○τ 2 -estructuras
Considere en ℤ las relaciones
τ 1 =ℤ # ×ℤ # y τ 2 = {(6, 6), (4, 4), (9,
9)}, entonces τ 1 ○ τ 2 ={(4,n),(6,n),(9,n)
: n ∈ ℤ # }. Se observa que 36 = 6 ⋅ 6 y ésta
es una τ2-factorización única, pero
36 = 4 ⋅ 9 = 6 ⋅ 6 son dos τ 1 ○ τ 2 -factor-
izaciones diferentes. Lo cual implica
que el hecho de que ℤ sea un τ 1 -UFD
y un τ 2 -UFD (las únicas τ 2 -factor-
izaciones no triviales son 4n, 6n y 9n),
no implican que sea un τ 1 ○ τ 2 -UFD.
Esto motiva a preguntarse qué propie-
dades deben tener dos relaciones τ1 y τ 2
sobre D # para que: “Si D es un τ 1 -UFD y
τ 2 -UFD, entonces D es un τ 1 ○ τ 2 -UFD”.
De igual manera se podría obtener el
diagrama de la Figura 2. Claro está que
si τ 1 ○ τ 2 es divisiva y simétrica el dia-
grama se satisface, porque las τ 1 ○ τ 2 -fac-
torizaciones coinciden con el concepto
de Anderson y Frazier. Por ende, si D
es un UFD, entonces D es un τ 1 ○ τ 2 -
UFD. Pero la idea es reconocer este
comportamiento sin asumir que τ 1 ○ τ 2
sea simétrica y divisiva.
Composición con homomorfismos
Sea τ una relación sobre D # y f:D → D
un homomorfismo de anillos. Analizar
una composición de la forma τ ○ f fue
lo que inicialmente motivó este tra-
bajo. Al examinar muchos ejemplos
se encontró que era necesario prim-
ero analizar el comportamiento de la
composición en general. Se pretende
a futuro realizar el estudio de la rel-
ación τ ○ f y su relación con la teoría de
τ-factorizaciones.
Referencias Bibliográficas
Anderson D. D., Anderson D.
F. y Zafrullah M. (1990).
Factorization
in
integral
domains. J. Pure. Appl. Algebra,
(Vol. 69). 1-19.
Anderson D. D. y Frazier A. M.
(2011). On a general theory
of factorization in integral
domains. Rocky Mountain J.
Math, (Vol. 41(3). 663-705.
Hamon S. M. (2007). Some top-
ics in τ-factorizations. (Tesis
Doctoral). Universidad de
Iowa, EE.UU.
McAdam S. y Swan R.G. (2004).
Unique comaximal factor-
ization. J. Algebra, volumen
276(1). 180-192.
Ortiz Albino R. M. (2008). On
generalized nonatomic fac-
torizations. (Tesis Doctoral).
Universidad de Iowa, EE.UU.