Revista SICES - Segunda Edición 2019 Julio 2019 | Page 54

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Ciencias Físicas, Agropecuarias, Matemáticas e Ingeniería
factores tengan la propiedad.
Ejemplo 4. En ℤ # , considere las sigui-
entes relaciones multiplicativas:
τ 1 = { ( 3 n , 2 m ) , ( 2 n , 3 m ) , ( 7 n , 5 m ) ,
(5 n ,7 m ):n, m  ∈  ℤ + }
τ 2 = { ( 3 n , 3 m ) , ( 3 n , 7 m ) , ( 7 n , 3 m ) , ( 3 n , 3
m p
7 ),(3 n 7 m ,3 p ):n, m, p  ∈  ℤ + }.
Sus composiciones están dadas por:
τ 1 ○ τ 2 = {(3 n ,2 m ), (7 n ,2 m ), (3 n 7 m ,2 p ), (3 n
,5 m ) : n, m, p  ∈  ℤ +  }
τ 2 ○ τ 1 = {(2 n ,3 m ),(2 n ,7 m ),(2 n ,3 m 7 p ),(5 n ,3 m ):
n, m, p  ∈  ℤ + }
Note que para n, 
m, 
p 
∈  ℤ + , (3 n ,2 m ),
n m
n m p
(3 ,5 )  ∈  τ 1 ○ τ 2 , pero (3 ,2 5 ) ∉ τ 1 ○ τ 2 ,
además (2 n ,3 m ),  (5 n , 3 m )  ∈  τ 2 ○ τ 1 , pero
(2 n 5 m ,3 p ) ∉ τ 2 ○ τ 1 .
Por tanto, aunque ambas relaciones
sean multiplicativas, la composición
no necesariamente lo es.
Existen varios resultados anteriores
que muestran por qué es deseable tra-
bajar con relaciones multiplicativas,
si el objetivo es estudiar τ 1 ○ τ 2 -factor-
izaciones, es conveniente saber alguna
forma en la que esta composición
es multiplicativa, una manera de
lograrlo es considerando las siguientes
propiedades.
Propiedad (1). Si aτ 1 ○ τ 2 c y bτ 1 ○ τ 2 c,
entonces existe d  ∈  D tal que aτ 2 d,
bτ 2 d y dτ 1 c.
sobre D # tales que τ 1 ○ τ 2  ≠  ∅ . Entonces,
(1) Si τ 2 es multiplicativa por la izqui-
erda y tal que cumple la Propiedad (1),
entonces τ 1 ○ τ 2 es multiplicativa por la
izquierda.
(2) Si τ 1 es multiplicativa por la dere-
cha y tal que cumple la Propiedad (2),
entonces τ 1 ○ τ 2 es multiplicativa por la
derecha.
Como se observará más adelante, exis-
ten razones para pensar que en general,
no existen condiciones más débiles en
los factores, que hagan que la com-
posición sea multiplicativa. En la sigui-
ente parte, imponemos condiciones
más fuertes a los factores.
Las condiciones τ 1  ⊆ τ 2 y
τ 1  = τ 2
Una razón importante para consid-
erar este tipo de condiciones es que en
el trabajo de Ortiz (2008) se obtuvo
resultados importantes con condi-
ciones del tipo τ 1   ⊆  τ 2 . Uno de ellos fue
generalizar los resultados de la Figura 2.
Ortiz demostró que si D es un τ 2 -UFD
(τ 2 -BFD, τ 2 -FFD y τ 2 -ACCP) y τ 1   ⊆  τ 2
dos relaciones divisivas, con τ 2 mul-
tiplicativa, entonces D es un τ 1 -UFD
(Resp. τ 1 -BFD, τ 1 -FFD y τ 1 -ACCP).
Para el caso de la condición τ 1  = τ 2 , la
asociatividad de la composición nos
permite denotarla como τ 1 ○ τ 1  = τ 12 y
en general τ 1n  = τ 1 ○ … ○ τ 1 , n-veces, vea-
mos algunos resultados obtenidos con
esta condición.
Proposición 4. Sea τ una relación en D
tal que τ 2  ≠  ∅ .
#
Propiedad (2). Si aτ 1 ○ τ 2 b y aτ 1 ○ τ 2 c,
entonces existe d  ∈  D tal que aτ2d,
dτ1b y dτ 1 c. 1. Si τ es reflexiva, entonces τ 2 es
reflexiva.
Considerando estas dos propiedades,
entonces se obtienen los siguientes
resultados.
Proposición 3. Sean τ 1 y τ 2 relaciones 2. Si τ es simétrica, entonces idCo-
im(τ) ∪ Im(τ)  ⊆  τ 2 y τ 2 es simétrica.
3. Si τ es transitiva, entonces τ 2   ⊆  τ y
τ 2 es transitiva.
4. Si τ es relación de equivalen-
cia, entonces τ2 es relación de
equivalencia.
5. Si τ es un orden parcial, entonces τ2
es un orden parcial.
Se puede observar que se obtienen
mejores resultados que en el caso
general. Pero no se obtiene mejoría
respecto a la propiedad multiplicativa.
Además, se encontraron contraejem-
plos que muestran que aún en este
caso, los conversos de las proposiciones
son falsos, es decir, la composición no
les traslada propiedades a sus facto-
res. Relajando un poco la condición a
τ 1   ⊆  τ 2 , obtenemos lo siguiente.
Proposición 5. Sean τ 1 y τ 2 rela-
ciones sobre D # tales que τ 1   ⊆  τ 2 y τ 2
es transitiva. Entonces τ 1 ○ τ 2   ⊆  τ 2 y
τ 2 ○ τ 1   ⊆  τ 2 . Si además, idIm(τ 1 ○ τ 2 )  ⊆  τ 1
(idIm(τ 2 ○ τ 1 )  ⊆  τ 1 ), entonces τ 1 ○ τ 2 es
transitiva (Resp. τ 2 ○ τ 1 es transitiva).
Demostración. Si aτ 1 ○ τ 2 b, por la defin-
ición de composición, existe un c  ∈  D #
tal que aτ 2 c y cτ 1 b. Como τ 1   ⊆  τ 2 ,
entonces cτ2b. Como τ es transitiva,
aτ 2 b, por lo tanto τ 1 ○ τ 2   ⊆  τ 2 . Si aτ 2 ○ τ 1 b,
por la definición de composición existe
un c  ∈  D # tal que aτ 1 c y cτ 2 b. Como
τ 1   ⊆  τ 2 , entonces aτ 2 c. Como τ es tran-
sitiva, aτ 2 b, por lo tanto τ 2 ○ τ 1   ⊆  τ 2 .
Para la segunda parte, si aτ 1 ○ τ 2 b y
bτ 1 ○ τ 2 c (aτ 2 ○ τ 1 b y bτ 2 ○ τ 1 c), por la
definición de composición existen c 1 ,
c 2   ∈  D tales que aτ 2 c 1 , c 1 τ 1 b, bτ 2 c 2 y c 2 τ 1 c
(Resp. aτ 1 c 1 , c 1 τ 2 b, bτ 1 c 2 y c 2 τ 2 c). Por la
hipótesis de que τ 1   ⊆  τ 2 , se tiene que
c 1 τ 2 b y c 2 τ 2 c (Resp. aτ 2 c 1 y bτ 2 c 2 ). Como
τ 2 es transitiva, aτ 2 b y bτ 2 c, implica
aτ 2 c. Como idIm(τ 1 ○ τ 2 )  ⊆  τ 1 (Resp.
idIm(τ 2 ○ τ 1 )  ⊆  τ 1 ) y c 
∈  Im(τ 1 ○ τ 2 )
(Resp. c  ∈  Im(τ 2 ○ τ 1 )), cτ 1 c. Por lo