Su Prueba de Práctica – AE NM para las Matemáticas del PD del IB
� Para un hemisferio de radio r : 1 . 2 .
2
3π r : Superficie total
2
2π r : Área de superficie curva
2 3
3 .
3 π r : Volumen
13 Diferenciación
� Derivadas de una función y = f( x)
:
1 .
2 .
3 . dy
= f′ ( x)
: Primera derivada dx
2 d y d ⎛d
2 ⎜ d d d
y⎞ = ⎟= x x⎝ x⎠ n d y n dx f′′ ( x)
: Segunda derivada
( n)
= f x : n -ésima derivada ( )
� Reglas de diferenciación : f ( x) x f ′( x) nx −
′ ′ ′ n n 1
= ⇒ = f( x) = px ( ) + qx ( ) ⇒ f( x) = p( x) + q( x)
|
f( x)
= sen x⇒ f′ ( x)
= cos x
|
f ( x)
= cp( x)
⇒ f
′( x)
= cp′
( x)
|
|
f( x)
= cos x⇒ f′ ( x)
= − sen x
|
f( x)
= pqx
( ( ))
⇒ f′ ( x)
= p′
( qx ( ))
⋅ q′
( x)
|
|
1 f( x)
= tan x⇒ f′
( x)
=
2 cos x
|
f( x)
= pxqx
( ) ( )
⇒ f′ ( x)
= p′
( xqx ) ( )
+ pxq
( )
′( x)
|
f( x) = e x ⇒ f′ ( x)
= e 1 f( x) = ln x⇒ f′ ( x)
= x
x px ( ) f( x)
= qx ( ) p′ ( xqx ) ( ) − pxq ( ) ′( x)
⇒ f′ ( x)
=
2
( qx ( ))
� Relaciones entre las propiedades del gráfico y las derivadas : 1 . f′ ( x) > 0 para a≤ x≤ b: f( x ) es creciente en el intervalo 2 . f′ ( x) < 0 para a≤ x≤ b: f( x ) es decreciente en el intervalo 3 . f′ ( a) = 0: ( a, f( a )) es un punto estacionario de f( x ) 4 . f′ ( a) = 0 y f′ ( x) cambia de positivo a negativo en x= a: ( a, f( a )) es un punto máximo de f( x )
5 . f′ ( a) = 0 y f′ ( x) cambia de negativo a positivo en x= a: ( a, f( a )) es un punto mínimo de f( x )
6 . f′′ ( a) = 0 y f′′ ( x) cambia de signo en x= a: ( a, f( a )) es un punto de inflexión de f( x )
12
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