CAPÍTULO 3. RELACIONES
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Falta verificar que R es transitiva. Dejamos al lector la tarea de convencerse que si tenemos
tres enteros x, y, z tales que x = y, y = z, (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces necesariamente
x = z.
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Ejercicios 3.3
1. Sea X = {1, 2, 3} Considere las siguientes relaciones en X. ¿Cuáles son reflexivas?,
¿Cuáles son transitivas?, ¿Cuáles son simétricas? y ¿Cuáles son antisimétricas?. Determine su dominio y su rango.
a) R = ∅
b) R = {(1, 1)}
c) R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}
d ) R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
e) R = X × X
2. Considere cada una de las siguientes relaciones en Z. ¿Cuáles son reflexivas?, ¿Cuáles
son transitivas?, ¿Cuáles son simétricas? y ¿Cuáles son antisimétricas?. Determine su
dominio y su rango.
a) xRy ⇔ x + y < 3
b) xRy ⇔ x + y = 1
c) xRy ⇔ x2 + x = y 2 + y
d ) xRy ⇔ y = 2
e) xRy ⇔ x divide a y
f ) xRy ⇔ x e y son primos relativos
g) xRy ⇔ |x| = |y| (donde |x| es el valor absoluto de x)
3. Considere las relaciones entre personas: “ser padre de”, “ser hijo de”, “ser esposo de” y
“ ser hermano de ”. Determine si son reflexivas, simétricas y/o transitivas.
4. Dos mujeres están sentadas en el poyo de una ventana. Al ver que se acercan dos
hombres una de ellas dice:
“ Allá vienen nuestros padres, padres de nuestros hijos, esposos de nuestras
madres y nuestros propios maridos”.
Explique si lo que la mujer dijo es posible. En que caso que lo sea, ¿que relación guardan
entre si las dos mujeres?.
5. ¿Existirá alguna relación que sea a la vez simétrica y antisimétrica?