CAPÍTULO 3. RELACIONES
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Ejemplo 3.19. Consideremos la relación R sobre A = {1, 2, 3, 4} dada por
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.
(a) R es reflexiva, pues para cada a ∈ {1, 2, 3, 4} se cumple que (a, a) ∈ R.
(b) R no es simétrica, pues por ejemplo tenemos que (1, 2) ∈ R pero (2, 1) ∈ R.
(c) R es transitiva, para esto debemos verificar que si (a, b) y (b, c) están en R, entonces (a, c) también pertenece a R. Veamos algunos casos concretos. Por ejemplo,
(1, 2), (2, 4) ∈ R y vemos que (1, 4) también pertenece a R. Otro ejemplo, (1, 3), (3, 3)
están en R y vemos que (1, 3) también está en R. Por supuesto, los dos casos que
hemos verificado no garantizan que la relación sea transitiva. Debemos verificar todos
los casos posibles (esto lo dejamos al lector!). Otra manera, más fácil que la de verificar
todos los casos posibles, de convencerse que R es transitiva es observando que R es
en realidad la relación de divisibilidad entre los elementos de {1, 2, 3, 4}. En efecto,
observe que para a, b ∈ {1, 2, 3, 4}, se cumple que
(a, b) ∈ R si, y sólo si a divide a b.
Ahora es más fácil convencerse que es R es transitiva, pues si a divide a b y b divide a
c, entonces a divide a c. (Verifíquelo!).
(d) R es antisimétrica. Supongamos que (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces por una simple
inspección vemos que necesariamente (a, b) es uno de los siguientes pares ordenados:
(1, 1), (2, 2), (3, 3) o (4, 4). Esto muestra que R es antisimétrica.
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Ejemplos 3.20.
1. Consideremos la relación R sobre {1, 2, 3, 4} dada por
R = {(1, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 4)}.
Vemos que esta relación no es reflexiva, pues (1, 1) ∈ R. No es simétrica, pues (4, 1) ∈ R
pero (1, 4) ∈ R. Tampoco es transitiva, pues (1, 2) ∈ R y (2, 3) ∈ R pero (1, 3) ∈ R. Por
último, R es antisimétrica, pues no existe un par (a, b) tal que (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R.
2. Considere la relación ⊆ sobre P({1, 2, 3}). Esta relación es reflexiva, antisimétrica y
transitiva. La reflexividad se debe a que, como sabemos, para todo conjunto B se
cumple que B ⊆ B. La transitividad fue mostrada en una sección anterior donde
probamos que si B ⊆ C y C ⊆ D, entonces B ⊆ D. Esta relación es antisimétrica,
pues si B ⊆ C y C ⊆ B sabemos que esto implica que B = C. Y por último ⊆ no es
simétrica, pues por ejemplo {1} ⊆ {1, 2} pero {1, 2} ⊆ {1}.
3. La relación de igualdad sobre un conjunto A. Podemos escribir esta relación de la
manera siguiente
{(a, b) ∈ A × A : a = b}.