Capítulo 1
Los Números Racionales
En este capítulo estudiaremos los números racionales, es decir, los números que se obtienen
como cociente de dos enteros. Presentaremos las propiedades algebraicas de los racionales,
esto es, las que satisfacen las operaciones de suma y multiplicación. Comenzaremos presentando las propiedades de los enteros, éstas nos servirán de modelo para analizar la de los
racionales. Como veremos, para entender mejor a los racionales, además de sus propiedades
algebraicas, también debemos estudiar las propiedades del orden. Esto será de crucial importancia para comprender la diferencia entre el conjunto de los números racionales y el de
los números reales.
1.1.
Los enteros desde un punto de vista abstracto
Antes de explicar qué haremos en esta sección creemos conveniente presentar un ejemplo
que ilustre lo que queremos hacer. Considere la siguiente ecuación en dos variables x e y:
4x + 5 − y = 4y − x + 5
Por el procedimiento que el lector debe conocer bien, de la igualdad anterior se concluye que
4x + x = 4y + y + 5 − 5.
Por lo tanto
5x = 5y
y en consecuencia
x = y.
Le pedimos al lector que analice lo que acabamos de hacer y explique porqué estos cálculos
son correctos. Es decir, determine cuáles principios lógicos y cuáles propiedades poseen los
números que garanticen la validez de la conclusión final, es decir, que x = y.
El objetivo de esta sección es precisamente aislar esas propiedades de los números y
mostrar cómo ellas garantizan que razonamientos similares al anterior son correctos. Para
esto, estudiaremos a los números desde un punto de vista abstracto y formal. Esperamos
que el estudiante experimente con demostraciones formales de teoremas sobre los enteros
basados exclusivamente en sus propiedades algebraicas.
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